C5:H18 (FAMERP-2021) A missão espacial norte-americana a Marte utilizará paraquedas no procedimento de pouso e transportará um pequeno helicóptero que será usado para sobrevoar a superfície do planeta.
a) Para auxiliar a reduzir a velocidade da nave durante o procedimento de pouso na superfície de Marte, os paraquedas deverão ser abertos quando a nave, de massa aproximadamente igual a $ 2500 \mathrm{~kg} $, estiver com velocidade de $ 144 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $. Calcule a energia cinética da nave, em joules, no momento da abertura dos paraquedas.
b) Considere que o helicóptero utilizado pela missão possui $ 1,8 \mathrm{~kg} $ de massa e que o raio e a massa de Marte são aproximada e respectivamente iguais à metade e a um décimo do raio e da massa da Terra, cuja aceleração gravitacional na superfície é $ 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $. Calcule a energia potencial gravitacional do helicóptero, em joules e em relação à superfície de Marte, quando ele estiver voando 5,0 metros acima da superfície.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver os itens solicitados:

### Parte (a)
Para calcular a energia cinética da nave no momento da abertura dos paraquedas, utilizamos a fórmula da energia cinética:

$$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $$

onde:
- $ m $ é a massa da nave,
- $ v $ é a velocidade da nave.

Primeiro, convertemos a velocidade de $ 144 \, \text{km/h} $ para $ \text{m/s} $:

$$ v = 144 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 40 \, \text{m/s} $$

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia cinética:

$$ E_c = \frac{1}{2} \times 2500 \, \text{kg} \times (40 \, \text{m/s})^2 $$
$$ E_c = \frac{1}{2} \times 2500 \times 1600 $$
$$ E_c = 1250 \times 1600 $$
$$ E_c = 2{,}000{,}000 \, \text{J} $$

Portanto, a energia cinética da nave no momento da abertura dos paraquedas é $ 2{,}000{,}000 \, \text{J} $.

### Parte (b)
Para calcular a energia potencial gravitacional do helicóptero em Marte, utilizamos a fórmula da energia potencial gravitacional:

$$ E_p = m g h $$

onde:
- $ m $ é a massa do helicóptero,
- $ g $ é a aceleração gravitacional em Marte,
- $ h $ é a altura acima da superfície de Marte.

Sabemos que o raio de Marte é metade do raio da Terra e que a massa de Marte é um décimo da massa da Terra. A aceleração gravitacional $ g $ em Marte pode ser calculada usando a relação:

$$ g_{\text{Marte}} = g_{\text{Terra}} \times \frac{M_{\text{Marte}}}{M_{\text{Terra}}} \times \left( \frac{R_{\text{Terra}}}{R_{\text{Marte}}} \right)^2 $$

Substituindo as proporções dadas:

$$ g_{\text{Marte}} = 10 \, \text{m/s}^2 \times \frac{1}{10} \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 $$
$$ g_{\text{Marte}} = 10 \, \text{m/s}^2 \times \frac{1}{10} \times 4 $$
$$ g_{\text{Marte}} = 10 \times 0.4 $$
$$ g_{\text{Marte}} = 4 \, \text{m/s}^2 $$

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia potencial gravitacional:

$$ E_p = 1.8 \, \text{kg} \times 4 \, \text{m/s}^2 \times 5.0 \, \text{m} $$
$$ E_p = 1.8 \times 20 $$
$$ E_p = 36 \, \text{J} $$

Portanto, a energia potencial gravitacional do helicóptero quando estiver voando 5 metros acima da superfície de Marte é $ 36 \, \text{J} $.

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