C5-H22 Unicamp-2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} satisfaz a equação A^2 = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar os valores de $a$ e $b$ que satisfazem a equação $A^2 = aA + bI$, onde $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $I$ é a matriz identidade de ordem 2.

Primeiro, calculamos $A^2$:

$$
A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

Agora, comparamos $A^2$ com $aA + bI$:

$$
aA + bI = a \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \ 0 & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & 0 \ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \ 0 & a+b \end{bmatrix}
$$

Igualando as matrizes:

$$
\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 2a \ 0 & a+b \end{bmatrix}
$$

Daí, obtemos as equações:

1. $a + b = 1$
2. $2a = 4$

Resolvendo a segunda equação:

$$ 
2a = 4 \implies a = 2 
$$

Substituindo na primeira equação:

$$ 
2 + b = 1 \implies b = -1 
$$

Portanto, o produto $ab$ é:

$$ 
ab = 2 \times (-1) = -2 
$$

**Resposta: -2**

C5-H22 Unicamp-2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} satisfaz a equação A^2 = aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a