Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar
fenômenos físicos e matemáticos.
Seja $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\ln (\operatorname {sen} x)$, definida para $(0

Q: Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar fenômenos físicos e matemáticos. Seja $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\ln (\operatorname {sen} x)$, definida para $(0<x<\frac{\pi}{2})$. Determine o valor da taxa de variação de $(h(x))$ em relação a $(x)$, no instante $(x=\frac{\pi}{4})$. AO B \Api C \(-\pil) D1 E(-11)

**Resposta: D** Aqui está a explicação passo a passo: 1. **Definir a função:** Temos a função $ h(x) = \ln(\sin x) $. 2. **Calcular a derivada de $ h(x) $ em relação a $ x $:** Usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ h(x) $. \[ h'(x) = \frac{d}{dx} \ln(\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x \] Portanto, $ h'(x) = \cot x $. 3. **Avaliar a derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{4} $:** Queremos encontrar a taxa de variação no instante $ x = \frac{\pi}{4} $, então avaliamos $ h'(\frac{\pi}{4}) $. \[ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) \] Como $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $, temos: \[ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \] Portanto, $ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Assim, a taxa de variação de $ h(x) $ em relação a $ x $ no instante $ x = \frac{\pi}{4} $ é 1.

Question

Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar
fenômenos físicos e matemáticos.
Seja $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\ln (\operatorname {sen} x)$, definida para $(0<x<\frac{\pi}{2})$. Determine o
valor da taxa de variação de $(h(x))$ em relação a $(x)$, no instante $(x=\frac{\pi}{4})$.
AO
B \Api
C \(-\pil)
D1
E(-11)

Accepted Answer

**Resposta: D**

Aqui está a explicação passo a passo:

1. **Definir a função:**
   Temos a função $ h(x) = \ln(\sin x) $.

2. **Calcular a derivada de $ h(x) $ em relação a $ x $:**
   Usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada de $ h(x) $.
   $$
   h'(x) = \frac{d}{dx} \ln(\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x
   $$
   Portanto, $ h'(x) = \cot x $.

3. **Avaliar a derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{4} $:**
   Queremos encontrar a taxa de variação no instante $ x = \frac{\pi}{4} $, então avaliamos $ h'(\frac{\pi}{4}) $.
   $$
   h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4}\right)
   $$
   Como $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $, temos:
   $$
   \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1
   $$
   Portanto, $ h'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Assim, a taxa de variação de $ h(x) $ em relação a $ x $ no instante $ x = \frac{\pi}{4} $ é 1.

Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variá...

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