Calcular o intervalo de confiança de 95% para a seguinte amostra, com variância
populacional desconhecida:
19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7
11,9 11,4 10,1 7,9

Question

Calcular o intervalo de confiança de 95% para a seguinte amostra, com variância
populacional desconhecida:
19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7
11,9 11,4 10,1 7,9

Accepted Answer

Para calcular o intervalo de confiança de 95% para a média de uma amostra com variância populacional desconhecida, utilizamos a distribuição t de Student. Vamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular a média amostral ($\bar{x}$):**

$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
$$

2. **Calcular o desvio padrão amostral (s):**

$$
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
$$

3. **Determinar o valor crítico da distribuição t ($t^*$)**: 
   - O valor crítico depende do nível de confiança desejado (95%) e dos graus de liberdade ($n-1$), onde $n$ é o tamanho da amostra.

4. **Calcular o erro padrão da média (EPM):**

$$
EPM = \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

5. **Calcular o intervalo de confiança:**

$$
IC = \bar{x} \pm t^* \times EPM
$$

Vamos aplicar esses passos à amostra fornecida:

1. **Calcular a média amostral ($\bar{x}$):**

$$
\bar{x} = \frac{19,8 + 18,5 + 17,6 + 16,7 + 15,8 + 15,4 + 14,1 + 13,6 + 11,9 + 11,4 + 11,4 + 8,8 + 7,5 + 15,4 + 15,4 + 19,5 + 14,9 + 12,7 + 11,9 + 11,4 + 10,1 + 7,9}{22} = 13,59
$$

2. **Calcular o desvio padrão amostral (s):**

$$
s = \sqrt{\frac{(19,8-13,59)^2 + (18,5-13,59)^2 + \ldots + (7,9-13,59)^2}{21}} \approx 3,66
$$

3. **Valor crítico da distribuição t ($t^*$)**: 
   - Para 21 graus de liberdade e um intervalo de confiança de 95%, $t^* \approx 2,080$. (consultar tabela t de Student)

4. **Calcular o erro padrão da média (EPM):**

$$
EPM = \frac{3,66}{\sqrt{22}} \approx 0,78
$$

5. **Calcular o intervalo de confiança:**

$$
IC = 13,59 \pm 2,080 \times 0,78
$$

$$
IC = 13,59 \pm 1,62
$$

$$
IC = [11,97, 15,21]
$$

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média da amostra é aproximadamente $[11,97, 15,21]$.

Calcular o intervalo de confiança de 95% para a seguinte amostra, com variância populacional desconhecida: 19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7 11,9 11,4 10,1 7,9