calcule a area total e o volume de um cone equilatero cuja sua altura mede 30cm

Question

Accepted Answer

Para calcular a área total e o volume de um cone equilátero, precisamos primeiro entender algumas propriedades do cone. Um cone equilátero é aquele em que a altura (h) é igual ao raio da base (r).

Dado que a altura $ h = 30 \, \text{cm} $, então o raio $ r = 30 \, \text{cm} $.

### Volume do Cone

A fórmula para o volume $ V $ de um cone é dada por:

$$
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
V = \frac{1}{3} \pi (30)^2 (30)
$$

$$
V = \frac{1}{3} \pi \times 900 \times 30
$$

$$
V = \frac{1}{3} \pi \times 27000
$$

$$
V = 9000 \pi \, \text{cm}^3
$$

### Área Total do Cone

A área total $ A $ de um cone é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula é:

$$
A = \pi r^2 + \pi r g
$$

Onde $ g $ é a geratriz do cone. Para um cone equilátero, a geratriz $ g $ é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos $ r $ e $ h $. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras:

$$
g = \sqrt{r^2 + h^2}
$$

Substituindo os valores:

$$
g = \sqrt{30^2 + 30^2}
$$

$$
g = \sqrt{900 + 900}
$$

$$
g = \sqrt{1800}
$$

$$
g = 30\sqrt{2}
$$

Agora, calculamos a área total:

$$
A = \pi (30)^2 + \pi (30)(30\sqrt{2})
$$

$$
A = 900\pi + 900\pi\sqrt{2}
$$

Portanto, a área total é:

$$
A = 900\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{cm}^2
$$

Resumindo:

- **Volume do cone**: $ 9000\pi \, \text{cm}^3 $
- **Área total do cone**: $ 900\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{cm}^2 $

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calcule a area total e o volume de um cone equilatero cuja sua altura mede 30cm

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