Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃ̆O POR PARTES:
$$
\int x \cdot e^{x} \cdot d x
$$

Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

Q: Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃ̆O POR PARTES: \[ \int x \cdot e^{x} \cdot d x \] Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

Para resolver a integral $\int x \cdot e^{x} \cdot dx$ utilizando o método de integração por partes, precisamos primeiro lembrar a fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] onde $u$ é uma função de $x$ e $dv$ é outra função de $x$ que será integrada para obter $v$. Escolhemos $u$ e $dv$ da seguinte maneira: - $u = x$, pois sua derivada simplifica a expressão. - $dv = e^x dx$, pois a integral de $e^x$ é facilmente obtida. Agora, calculamos $du$ e $v$: - $du = dx$, pois a derivada de $x$ com relação a $x$ é 1. - $v = \int e^x dx = e^x$, pois a integral de $e^x$ é $e^x$. Substituindo na fórmula de integração por partes: \[ \int x \cdot e^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx \] Como já sabemos que a integral de $e^x$ é $e^x$, substituímos: \[ = x \cdot e^x - e^x + C \] Portanto, a solução para a integral é: \[ x \cdot e^x - e^x + C \] onde $C$ é a constante de integração.

Question

Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃ̆O POR PARTES:
$$
\int x \cdot e^{x} \cdot d x
$$

Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

Accepted Answer

Para resolver a integral $\int x \cdot e^{x} \cdot dx$ utilizando o método de integração por partes, precisamos primeiro lembrar a fórmula:
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
onde $u$ é uma função de $x$ e $dv$ é outra função de $x$ que será integrada para obter $v$.

Escolhemos $u$ e $dv$ da seguinte maneira:
- $u = x$, pois sua derivada simplifica a expressão.
- $dv = e^x dx$, pois a integral de $e^x$ é facilmente obtida.

Agora, calculamos $du$ e $v$:
- $du = dx$, pois a derivada de $x$ com relação a $x$ é 1.
- $v = \int e^x dx = e^x$, pois a integral de $e^x$ é $e^x$.

Substituindo na fórmula de integração por partes:
$$
\int x \cdot e^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx
$$

Como já sabemos que a integral de $e^x$ é $e^x$, substituímos:
$$
= x \cdot e^x - e^x + C
$$

Portanto, a solução para a integral é:
$$
x \cdot e^x - e^x + C
$$
onde $C$ é a constante de integração.

Calcule a Integral a seguir utilizando o método de INTEGRAÇÃ̆O POR PARTES: \[ \int x \cdot e^{x} \cdot d x \] Assinale a alternativa CORRETA na qual é apresentada sua solução.

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