Calcule a integral \int cos^{3}(x) sen^{6}(x)dx.

Q: Calcule a integral \int cos^{3}(x) sen^{6}(x)dx.

Para resolver a integral $\int \cos^3(x) \sen^6(x) \, dx$, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos seguir os passos: 1. **Substituição**: Seja $ u = \sen(x) $. Então, $ du = \cos(x) \, dx $. 2. **Reescrevendo a integral**: - $\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) \cdot (1 - \sen^2(x)) = \cos(x) \cdot (1 - u^2)$. - $\sen^6(x) = u^6$. A integral se torna: \[ \int \cos(x) \cdot (1 - u^2) \cdot u^6 \, dx = \int (1 - u^2) u^6 \, du. \] 3. **Expandindo e Integrando**: \[ \int (u^6 - u^8) \, du = \int u^6 \, du - \int u^8 \, du. \] 4. **Calculando cada parte**: \[ \int u^6 \, du = \frac{u^7}{7} + C_1, \] \[ \int u^8 \, du = \frac{u^9}{9} + C_2. \] Portanto, a integral é: \[ \frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9} + C. \] 5. **Voltando para a variável original**: \[ \frac{\sen^7(x)}{7} - \frac{\sen^9(x)}{9} + C. \] Assim, a solução da integral é: \[ \frac{\sen^7(x)}{7} - \frac{\sen^9(x)}{9} + C. \]

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral $\int \cos^3(x) \sen^6(x) \, dx$, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos seguir os passos:

1. **Substituição**: Seja $ u = \sen(x) $. Então, $ du = \cos(x) \, dx $.

2. **Reescrevendo a integral**: 
   - $\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) \cdot (1 - \sen^2(x)) = \cos(x) \cdot (1 - u^2)$.
   - $\sen^6(x) = u^6$.

A integral se torna:
   $$
   \int \cos(x) \cdot (1 - u^2) \cdot u^6 \, dx = \int (1 - u^2) u^6 \, du.
   $$

3. **Expandindo e Integrando**:
   $$
   \int (u^6 - u^8) \, du = \int u^6 \, du - \int u^8 \, du.
   $$

4. **Calculando cada parte**:
   $$
   \int u^6 \, du = \frac{u^7}{7} + C_1,
   $$
   $$
   \int u^8 \, du = \frac{u^9}{9} + C_2.
   $$

Portanto, a integral é:
   $$
   \frac{u^7}{7} - \frac{u^9}{9} + C.
   $$

5. **Voltando para a variável original**:
   $$
   \frac{\sen^7(x)}{7} - \frac{\sen^9(x)}{9} + C.
   $$

Assim, a solução da integral é:
$$
\frac{\sen^7(x)}{7} - \frac{\sen^9(x)}{9} + C.
$$

Calcule a integral \int cos^{3}(x) sen^{6}(x)dx.

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