calcule a medida de geratriz do cone equilátero cuja área total é de 8 pi d m ao quadrado

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Para calcular a medida da geratriz de um cone equilátero, precisamos entender que um cone equilátero é aquele em que o raio da base $ r $, a altura $ h $ e a geratriz $ g $ formam um triângulo retângulo isósceles. Assim, temos que $ g = \sqrt{2} \cdot r $.

A área total de um cone é dada pela soma da área da base e da área lateral. A fórmula para a área total $ A_t $ de um cone é:

$$ A_t = \pi r^2 + \pi r g $$

Sabemos que a área total é $ 8\pi $. Logo, podemos escrever:

$$ \pi r^2 + \pi r g = 8\pi $$

Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ \pi $:

$$ r^2 + r g = 8 $$

Como estamos lidando com um cone equilátero, sabemos que $ g = \sqrt{2} \cdot r $. Substituindo na equação:

$$ r^2 + r(\sqrt{2} \cdot r) = 8 $$

$$ r^2 + \sqrt{2} \cdot r^2 = 8 $$

$$ (1 + \sqrt{2}) \cdot r^2 = 8 $$

Agora, isolamos $ r^2 $:

$$ r^2 = \frac{8}{1 + \sqrt{2}} $$

Para simplificar essa expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

$$ r^2 = \frac{8(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} $$

$$ r^2 = \frac{8(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} $$

$$ r^2 = -8(1 - \sqrt{2}) $$

$$ r^2 = 8(\sqrt{2} - 1) $$

Como $ r^2 $ deve ser positivo, tomamos o valor absoluto:

$$ r = \sqrt{8(\sqrt{2} - 1)} $$

Agora, calculamos a geratriz $ g $:

$$ g = \sqrt{2} \cdot r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8(\sqrt{2} - 1)} $$

$$ g = \sqrt{16(\sqrt{2} - 1)} $$

Assim, a medida da geratriz do cone equilátero é:

$$ g = 4\sqrt{\sqrt{2} - 1} $$

Esta é a medida da geratriz do cone equilátero com a área total dada.

calcule a medida de geratriz do cone equilátero cuja área to...

calcule a medida de geratriz do cone equilátero cuja área total é de 8 pi d m ao quadrado

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