Calcule a medida do lado e do apótema do quadrado, do hexagono e do triângulo equilátero escritos numa circunferência de R=8cm

Question

Accepted Answer

Para calcular a medida do lado e do apótema de polígonos regulares inscritos em uma circunferência de raio $ R = 8 \, \text{cm} $, utilizamos as propriedades geométricas dos polígonos regulares.

### Quadrado

1. **Medida do lado ($ l $)**:
   - O lado do quadrado pode ser calculado usando a diagonal que é igual ao diâmetro da circunferência.
   - A diagonal $ d $ do quadrado é $ 2R = 16 \, \text{cm} $.
   - Como a diagonal forma um triângulo retângulo isósceles com os lados do quadrado:
   $$
   d = l\sqrt{2}
   $$
   $$
   16 = l\sqrt{2}
   $$
   $$
   l = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \, \text{cm}
   $$

2. **Medida do apótema ($ a $)**:
   - O apótema é metade do lado do quadrado inscrito:
   $$
   a = \frac{l}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}
   $$

### Hexágono Regular

1. **Medida do lado ($ l $)**:
   - Em um hexágono regular inscrito, o lado é igual ao raio da circunferência:
   $$
   l = R = 8 \, \text{cm}
   $$

2. **Medida do apótema ($ a $)**:
   - O apótema pode ser calculado pela fórmula:
   $$
   a = R \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
   $$
   $$
   a = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{cm}
   $$

### Triângulo Equilátero

1. **Medida do lado ($ l $)**:
   - Para o triângulo equilátero inscrito, o lado pode ser calculado pela fórmula:
   $$
   l = R \cdot \sqrt{3}
   $$
   $$
   l = 8 \cdot \sqrt{3} \, \text{cm}
   $$

2. **Medida do apótema ($ a $)**:
   - O apótema é a altura do triângulo a partir do centro até o meio de um lado:
   $$
   a = R \cdot \frac{1}{2}
   $$
   $$
   a = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{cm}
   $$

Resumindo:

- **Quadrado**: Lado $ 8\sqrt{2} \, \text{cm} $, Apótema $ 4\sqrt{2} \, \text{cm} $
- **Hexágono**: Lado $ 8 \, \text{cm} $, Apótema $ 4\sqrt{3} \, \text{cm} $
- **Triângulo Equilátero**: Lado $ 8\sqrt{3} \, \text{cm} $, Apótema $ 4 \, \text{cm} $

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Calcule a medida do lado e do apótema do quadrado, do hexagono e do triângulo equilátero escritos numa circunferência de R=8cm

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