calcule derivada
x(t) = A e^{-ot} sen{wt + φ}

Q: calcule derivada x(t) = A e^{-ot} sen{wt + φ}

Para calcular a derivada da função $ x(t) = A e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \phi) $, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A função é composta por dois termos: $ u(t) = A e^{-\alpha t} $ e $ v(t) = \sin(\omega t + \phi) $. A derivada de $ u(t) $ é: \[ u'(t) = -\alpha A e^{-\alpha t} \] A derivada de $ v(t) $ é: \[ v'(t) = \omega \cos(\omega t + \phi) \] Usando a regra do produto, a derivada de $ x(t) $ é: \[ x'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t) \] Substituindo as derivadas: \[ x'(t) = (-\alpha A e^{-\alpha t}) \sin(\omega t + \phi) + (A e^{-\alpha t})(\omega \cos(\omega t + \phi)) \] Simplificando: \[ x'(t) = -\alpha A e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \phi) + \omega A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) \] Essa é a derivada da função dada.

Question

Accepted Answer

Para calcular a derivada da função $ x(t) = A e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \phi) $, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.

A função é composta por dois termos: $ u(t) = A e^{-\alpha t} $ e $ v(t) = \sin(\omega t + \phi) $.

A derivada de $ u(t) $ é:
$$
u'(t) = -\alpha A e^{-\alpha t}
$$

A derivada de $ v(t) $ é:
$$
v'(t) = \omega \cos(\omega t + \phi)
$$

Usando a regra do produto, a derivada de $ x(t) $ é:
$$
x'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)
$$

Substituindo as derivadas:
$$
x'(t) = (-\alpha A e^{-\alpha t}) \sin(\omega t + \phi) + (A e^{-\alpha t})(\omega \cos(\omega t + \phi))
$$

Simplificando:
$$
x'(t) = -\alpha A e^{-\alpha t} \sin(\omega t + \phi) + \omega A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi)
$$

Essa é a derivada da função dada.