Calcule $$ \int\int_R (x^2 + y^2) \, dxdy, \text{ onde } R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \text{ e } 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\}. $$
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
(b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Q: Calcule \[ \int\int_R (x^2 + y^2) \, dxdy, \text{ onde } R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \text{ e } 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\}. \] (a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares. (b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.

Para resolver a integral dupla $\int\int_R (x^2 + y^2) \, dx \, dy$, onde $R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \text{ e } 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\}$, vamos considerar os dois métodos solicitados: ### (a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares A região $R$ é delimitada por $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$. Assim, a integral pode ser escrita como: \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \, dx \] Primeiro, integramos em relação a $y$: \[ \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \] Substituindo os limites de integração: \[ = x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{3} \] \[ = x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3} \] Agora, integramos em relação a $x$: \[ \int_{0}^{1} \left( x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3} \right) \, dx \] Esta integral pode ser resolvida usando substituição ou tabelas de integrais. ### (b) Utilizar a mudança para coordenadas polares Em coordenadas polares, temos $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$, com $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$. A região $R$ em coordenadas polares é descrita por $0 \leq r \leq 1$ e $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. A integral se torna: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \, dr \, d\theta \] Primeiro, integramos em relação a $r$: \[ \int_{0}^{1} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \] Agora, integramos em relação a $\theta$: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8} \] Portanto, a solução utilizando coordenadas polares é $\frac{\pi}{8}$.

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral dupla $\int\int_R (x^2 + y^2) \, dx \, dy$, onde $R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \text{ e } 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\}$, vamos considerar os dois métodos solicitados:

### (a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares

A região $R$ é delimitada por $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$. Assim, a integral pode ser escrita como:

$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \, dx
$$

Primeiro, integramos em relação a $y$:

$$
\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{1-x^2}}
$$

Substituindo os limites de integração:

$$
= x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(\sqrt{1-x^2})^3}{3}
$$

$$
= x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3}
$$

Agora, integramos em relação a $x$:

$$
\int_{0}^{1} \left( x^2\sqrt{1-x^2} + \frac{(1-x^2)^{3/2}}{3} \right) \, dx
$$

Esta integral pode ser resolvida usando substituição ou tabelas de integrais.

### (b) Utilizar a mudança para coordenadas polares

Em coordenadas polares, temos $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$, com $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$.

A região $R$ em coordenadas polares é descrita por $0 \leq r \leq 1$ e $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.

A integral se torna:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \, dr \, d\theta
$$

Primeiro, integramos em relação a $r$:

$$
\int_{0}^{1} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}
$$

Agora, integramos em relação a $\theta$:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8}
$$

Portanto, a solução utilizando coordenadas polares é $\frac{\pi}{8}$.

Calcule (a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares...

Calcule
$\int\int_R (x^2 + y^2) \, dxdy, \text{ onde } R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \text{ e } 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\}.$
(a) Sem utilizar a mudança para coordenadas polares. (b) Utilizar a mudança para coordenadas polares.

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