Calcule o período de translação do planeta Mercúrio em torno do Sol, sabendo-se que a distância média entre eles é de 58 . 10^6 km. Dado: distância média entre a Terra e o Sol: 150 . 10^6 km.

(UFPE) Um planeta realiza uma órbita elíptica com uma estrela em um dos focos. Em dois meses, o segmento de reta que liga a estrela ao planeta varre uma área A no plano da órbita do planeta. Em 32 meses tal segmento varre uma área igual a αA. Qual o valor de α?

Question

Calcule o período de translação do planeta Mercúrio em torno do Sol, sabendo-se que a distância média entre eles é de 58 . 10^6 km. Dado: distância média entre a Terra e o Sol: 150 . 10^6 km.

(UFPE) Um planeta realiza uma órbita elíptica com uma estrela em um dos focos. Em dois meses, o segmento de reta que liga a estrela ao planeta varre uma área A no plano da órbita do planeta. Em 32 meses tal segmento varre uma área igual a αA. Qual o valor de α?

Accepted Answer

**Resposta da primeira questão: Aproximadamente, 0,24 ano.**

Para calcular o período de translação de Mercúrio, usamos a terceira lei de Kepler:

$$
\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3
$$

Onde:
- $ T_1 $ é o período de Mercúrio.
- $ T_2 = 1 $ ano (período da Terra).
- $ R_1 = 58 \times 10^6 $ km (distância de Mercúrio ao Sol).
- $ R_2 = 150 \times 10^6 $ km (distância da Terra ao Sol).

Substituindo os valores:

$$
\left(\frac{T_1}{1}\right)^2 = \left(\frac{58}{150}\right)^3
$$

$$
T_1^2 = \left(\frac{58}{150}\right)^3
$$

$$
T_1^2 \approx 0,058
$$

$$
T_1 \approx \sqrt{0,058} \approx 0,24
$$

**Resposta da segunda questão: 64 meses.**

Usando a segunda lei de Kepler, que afirma que áreas varridas são proporcionais ao tempo:

$$
\frac{A}{2} = \frac{\alpha A}{32}
$$

Resolvendo para $\alpha$:

$$
\frac{1}{2} = \frac{\alpha}{32}
$$

$$
\alpha = \frac{32}{2} = 16
$$

Portanto, em 32 meses, a área varrida é $16A$, então o valor de $\alpha$ é **16**.

Desculpe, houve um erro na explicação anterior. Para que a área varrida seja $ \alpha A $, a proporção correta é:

$$
\alpha = \frac{32}{2} = 16
$$

Portanto, a resposta correta é **16 meses**.

Calcule o período de translação do planeta Mercúrio em torno...

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