Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região plana delimitada pelas curvas

y = -x² + 1, x ≥ 0, e y = 4.

O

9/2 π u v

5/2 π u v

11/2 π u v

7/2 π u v

Question

Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região plana delimitada pelas curvas

y = -x² + 1, x ≥ 0, e y = 4.

O

9/2 π u v

5/2 π u v

11/2 π u v

7/2 π u v

Accepted Answer

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo $ y $, utilizamos o método dos cilindros.

A região é delimitada pelas curvas:

$$ y = -x^2 + 1 $$
$$ y = 4 $$

Primeiro, determinamos os pontos de interseção das curvas. Igualamos as equações:

$$ -x^2 + 1 = 4 $$
$$ -x^2 = 3 $$
$$ x^2 = -3 $$

Não há solução real para $ x $ a partir dessa equação, indicando que as curvas não se interceptam no domínio $ x \geq 0 $. Portanto, precisamos considerar a interseção com o eixo $ y = 4 $.

A curva $ y = -x^2 + 1 $ tem seu valor máximo em $ x = 0 $, que é $ y = 1 $. Como $ y = 4 $ é uma linha reta acima deste valor máximo, a interseção relevante para $ x \geq 0 $ ocorre apenas na borda da região onde $ x = 0 $.

Como a curva $ y = -x^2 + 1 $ não alcança $ y = 4 $ para $ x \geq 0 $, a região de integração é entre $ y = 1 $ e $ y = 4 $.

O volume $ V $ é dado por:

$$ V = 2\pi \int_{1}^{4} x(y) \, dy $$

Resolvendo para $ x $ em termos de $ y $:

$$ y = -x^2 + 1 $$
$$ x^2 = 1 - y $$
$$ x = \sqrt{1 - y} $$

Assim, o volume será:

$$ V = 2\pi \int_{1}^{4} \sqrt{1-y} \, dy $$

Calculando a integral:

$$ V = 2\pi \left[ -\frac{2}{3}(1-y)^{3/2} \right]_{1}^{4} $$

Calculando os limites:

Para $ y = 4 $:

$$ (1-4)^{3/2} = (-3)^{3/2} \quad (\text{não existe no domínio real}) $$

Portanto, a região correta de integração deve ser revista, considerando que a curva $ y = -x^2 + 1 $ não atinge $ y = 4 $.

De fato, a questão parece ter um erro conceitual ao não permitir um intervalo de integração válido no domínio real para $ x \geq 0 $.

Por isso, a resposta correta não pode ser determinada a partir das opções dadas, considerando que o sólido de revolução não é formado dentro do domínio real especificado.

Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação,...

Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região plana delimitada pelas curvas

y = -x² + 1, x ≥ 0, e y = 4.

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5/2 π u v

11/2 π u v

7/2 π u v

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