Calcule os seguintes limites:
A) lim x→∞ (x⁴ - x² + 3) / (x³ + 5)
B) lim x→-∞ (x³ + 2x) / (x⁴ + 5)
C) lim x→∞ (2x² + 5) / (5x² + 6x)
D) lim x→-∞ (x³ + x - 3) / (x⁵ + x²)
E) lim x→-∞ x / (√(x² + 5))
F) lim x→-∞ (x²√x + x²) / (√(x⁵ + 1 - x))

Question

Accepted Answer

Vamos calcular os limites:

**A)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4 - x^2 + 3}{x^3 + 5}$

Dividimos todos os termos pelo maior grau do denominador, $x^3$:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4/x^3 - x^2/x^3 + 3/x^3}{x^3/x^3 + 5/x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1/x + 3/x^3}{1 + 5/x^3}
$$

Quando $x \to -\infty$, os termos com $1/x$ tendem a zero:

$$
= \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{1} = -\infty
$$

**B)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 + 5}$

Dividimos todos os termos pelo maior grau do denominador, $x^4$:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3/x^4 + 2x/x^4}{x^4/x^4 + 5/x^4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1/x + 2/x^3}{1 + 5/x^4}
$$

Os termos com $1/x$ tendem a zero:

$$
= \frac{0}{1} = 0
$$

**C)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 + 5}{5x^2 + 6x}$

Dividimos todos os termos pelo maior grau do denominador, $x^2$:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2/x^2 + 5/x^2}{5x^2/x^2 + 6x/x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + 5/x^2}{5 + 6/x}
$$

Os termos com $1/x$ tendem a zero:

$$
= \frac{2}{5}
$$

**D)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + x - 3}{x^5 + x^2}$

Dividimos todos os termos pelo maior grau do denominador, $x^5$:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3/x^5 + x/x^5 - 3/x^5}{x^5/x^5 + x^2/x^5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1/x^2 + 1/x^4 - 3/x^5}{1 + 1/x^3}
$$

Os termos com $1/x$ tendem a zero:

$$
= \frac{0}{1} = 0
$$

**E)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$

Para simplificar, notamos que $\sqrt{x^2 + 5} \approx |x|$ quando $x \to -\infty$. Assim, temos:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x} = -1
$$

**F)** $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2\sqrt{x} + x^2}{\sqrt{x^5 + 1} - x}$

Dividimos todos os termos pelo maior grau presente, $x^{5/2}$:

$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2\sqrt{x}/x^{5/2} + x^2/x^{5/2}}{\sqrt{x^5/x^5 + 1/x^5} - x/x^{5/2}}
$$

Simplificando:

$$
= \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + 1/\sqrt{x}}{1 - 1/\sqrt{x^3}}
$$

Os termos com $1/x$ tendem a zero:

$$
= \frac{1}{1} = 1
$$

Resumindo os resultados:

- A) $-\infty$
- B) $0$
- C) $\frac{2}{5}$
- D) $0$
- E) $-1$
- F) $1$

Calcule os seguintes limites: A) lim x→∞ (x⁴ - x² + 3) / (x³ + 5) B) lim x→-∞ (x³ + 2x) / (x⁴ + 5) C) lim x→∞ (2x² + 5) / (5x² + 6x) D) lim x→-∞ (x³ + x - 3) / (x⁵ + x²) E) lim x→-∞ x / (√(x² + 5)) F) lim x→-∞ (x²√x + x²) / (√(x⁵ + 1 - x))