Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas e resolveu apostar no naipe de copas. Se denominamos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerando que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Considera que em um baralho a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13/52.

Dados:

P(x) = P(X = x) = C_n^x * p^x * q^(n-x)

P_X = P(X = x) = e^(λ) * λ^x / x!

Assinale a alternativa que contém essa probabilidade.

Question

Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas e resolveu apostar no naipe de copas. Se denominamos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerando que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Considera que em um baralho a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13/52.

Dados:

P(x) = P(X = x) = C_n^x * p^x * q^(n-x)

P_X = P(X = x) = e^(λ) * λ^x / x!

Assinale a alternativa que contém essa probabilidade.

Dados:

P(x) = P(X = x) = C_n^x * p^x * q^(n-x)

P_X = P(X = x) = e^(λ) * λ^x / x!

Assinale a alternativa que contém essa probabilidade.

Accepted Answer

Para resolver este problema, usaremos a distribuição binomial. Queremos calcular a probabilidade de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios, dado que ele participa de 7 sorteios e a probabilidade de tirar uma carta de copas é $ p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} $.

A fórmula da distribuição binomial é:

$$
P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}
$$

onde:
- $ n = 7 $ (número de sorteios),
- $ x $ é o número de sucessos desejados,
- $ p = \frac{1}{4} $ (probabilidade de sucesso em um único sorteio).

Queremos calcular a probabilidade de $ X \geq 3 $:

$$
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
$$

Calculando cada termo:

1. $ P(X = 0) = \binom{7}{0} \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^7 $
2. $ P(X = 1) = \binom{7}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^6 $
3. $ P(X = 2) = \binom{7}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^5 $

Calculando:

$$
P(X = 0) = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^7 \approx 0.1335
$$

$$
P(X = 1) = 7 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^6 \approx 0.3115
$$

$$
P(X = 2) = 21 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{729}{4096}\right) \approx 0.3115
$$

Somando essas probabilidades:

$$
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.1335 + 0.3115 + 0.3115 = 0.7565
$$

Portanto, a probabilidade de $ X \geq 3 $ é:

$$
P(X \geq 3) = 1 - 0.7565 = 0.2435
$$

Aproximadamente 24%.

**Resposta: Aproximadamente 25%**

Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte...

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