Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas e resolveu apostar no naipe de copas. Se denotarmos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerando que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Considere que em um baralho a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13/52.

Dados:

P(x) = P(X = x) = C_{n} ^ x * p ^ x * q ^ (nx)

Px = PX = x = (e ^ (- lambda) * lambda ^ x)/(x!)

Question

Carlos está de férias em Las Vegas e resolveu tentar a sorte em um cassino. Seu jogo preferido é o de cartas e resolveu apostar no naipe de copas. Se denotarmos X como a probabilidade de tirar cartas do naipe de copas, e considerando que Carlos participou de 7 sorteios, desejamos calcular a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios. Considere que em um baralho a probabilidade de sair uma carta do naipe de copas é de 13/52. Dados: P(x) = P(X = x) = C_{n} ^ x * p ^ x * q ^ (nx) Px = PX = x = (e ^ (- lambda) * lambda ^ x)/(x!)

f

fernanda

Feita pelo app

25/11/24

Dados:

P(x) = P(X = x) = C_{n} ^ x * p ^ x * q ^ (nx)

Px = PX = x = (e ^ (- lambda) * lambda ^ x)/(x!)

Accepted Answer

Para resolver esse problema, podemos modelar a situação como uma distribuição binomial. A probabilidade de tirar uma carta do naipe de copas em um único sorteio é $ p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} $.

Seja $ X $ uma variável aleatória que representa o número de vezes que Carlos tira cartas do naipe de copas em 7 sorteios. Então, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 7 $ e $ p = \frac{1}{4} $.

Queremos calcular a probabilidade de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios, ou seja, $ P(X \geq 3) $.

A fórmula da distribuição binomial é:

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

Para calcular $ P(X \geq 3) $, precisamos somar as probabilidades de $ X = 3, 4, 5, 6, $ e $ 7 $:

$$
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)
$$

Primeiro, calculamos cada termo:

$$
P(X = 3) = \binom{7}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^4
$$

$$
P(X = 4) = \binom{7}{4} \left(\frac{1}{4}\right)^4 \left(\frac{3}{4}\right)^3
$$

$$
P(X = 5) = \binom{7}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^2
$$

$$
P(X = 6) = \binom{7}{6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^1
$$

$$
P(X = 7) = \binom{7}{7} \left(\frac{1}{4}\right)^7 \left(\frac{3}{4}\right)^0
$$

Calculando cada um:

$$
P(X = 3) = \frac{35 \cdot 1}{64} \cdot \frac{81}{256} = \frac{2835}{16384}
$$

$$
P(X = 4) = \frac{35 \cdot 1}{256} \cdot \frac{27}{64} = \frac{945}{16384}
$$

$$
P(X = 5) = \frac{21 \cdot 1}{1024} \cdot \frac{9}{16} = \frac{189}{16384}
$$

$$
P(X = 6) = \frac{7 \cdot 1}{4096} \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{16384}
$$

$$
P(X = 7) = \frac{1 \cdot 1}{16384} \cdot 1 = \frac{1}{16384}
$$

Somando todas as probabilidades:

$$
P(X \geq 3) = \frac{2835 + 945 + 189 + 21 + 1}{16384} = \frac{3991}{16384}
$$

Portanto, a probabilidade aproximada de Carlos obter cartas do naipe de copas em pelo menos 3 sorteios é aproximadamente $ \frac{3991}{16384} $.

Perguntas relacionadas