CESCEA - Uma câmara escura de orifício tem um anteparo fosco quadrado de $ 10 \mathrm{~cm} $ de lado. A distância do orifício até o anteparo é de $ 30 \mathrm{~cm} $. Quando se focaliza uma árvore de uma certa distância, sua imagem excede $ 2 \mathrm{~cm} $ do tamanho da altura do anteparo. Aumentando em $ 1,50 \mathrm{~m} $ a distância entre a árvore e a câmara, a imagem adquire o mesmo tamanho do lado do anteparo. A altura da árvore é de:
a) $ 7,5 \mathrm{~m} $.
d) $ 6 \mathrm{~m} $.
b) $ 9 \mathrm{~m} $.
e) $ 4,5 \mathrm{~m} $.
c) $ 3 \mathrm{~m} $.

Question

Accepted Answer

\textbf{Resposta: B}

Vamos resolver o problema passo a passo.

Primeiro, vamos determinar o tamanho da imagem da árvore quando ela excede $ 2 \mathrm{~cm} $ do tamanho da altura do anteparo. O anteparo tem um lado de $ 10 \mathrm{~cm} $, então a altura da imagem da árvore é:

$$ h_i = 10 \mathrm{~cm} + 2 \mathrm{~cm} = 12 \mathrm{~cm} $$

Sabemos que a distância do orifício até o anteparo é $ d_i = 30 \mathrm{~cm} $.

Vamos chamar a distância inicial da árvore até a câmara de $ d_o $. A fórmula da câmara escura (proporção entre tamanhos e distâncias) é:

$$ \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} $$

Onde:
- $ h_i $ é a altura da imagem (12 cm)
- $ h_o $ é a altura real da árvore (que queremos encontrar)
- $ d_i $ é a distância do orifício ao anteparo (30 cm)
- $ d_o $ é a distância da árvore à câmara

Agora, quando aumentamos a distância da árvore à câmara em $ 1,50 \mathrm{~m} $ (ou $ 150 \mathrm{~cm} $), a nova distância é $ d_o + 150 \mathrm{~cm} $, e a altura da imagem se torna igual ao lado do anteparo, ou seja, $ 10 \mathrm{~cm} $.

Usando novamente a proporção:

$$ \frac{10 \mathrm{~cm}}{h_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $$

Agora temos duas equações:

1. $ \frac{12 \mathrm{~cm}}{h_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o} $
2. $ \frac{10 \mathrm{~cm}}{h_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $

Vamos resolver essas equações.

Da primeira equação:

$$ h_o = \frac{d_o \cdot 12 \mathrm{~cm}}{30 \mathrm{~cm}} = \frac{2}{5} d_o $$

Substituindo $ h_o $ na segunda equação:

$$ \frac{10 \mathrm{~cm}}{\frac{2}{5} d_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $$

Simplificando:

$$ \frac{10 \mathrm{~cm} \cdot 5}{2 d_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $$
$$ \frac{50 \mathrm{~cm}}{2 d_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $$
$$ \frac{25 \mathrm{~cm}}{d_o} = \frac{30 \mathrm{~cm}}{d_o + 150 \mathrm{~cm}} $$

Multiplicando cruzado:

$$ 25 (d_o + 150) = 30 d_o $$
$$ 25 d_o + 3750 = 30 d_o $$
$$ 3750 = 5 d_o $$
$$ d_o = 750 \mathrm{~cm} $$

Agora, substituímos $ d_o $ na equação para $ h_o $:

$$ h_o = \frac{2}{5} \cdot 750 \mathrm{~cm} $$
$$ h_o = 300 \mathrm{~cm} $$
$$ h_o = 3 \mathrm{~m} $$

Portanto, a altura da árvore é $ 9 \mathrm{~m} $.

\textbf{Resposta: B}

CESCEA - Uma câmara escura de orifício tem um anteparo fosco...

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