(Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm,
AD = 4 cm, e o ponto O é o centro da circunferência.
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:

Q: (Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm, e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:

Para calcular o perímetro do triângulo $ \triangle AOC $, precisamos determinar os comprimentos dos lados $ AO $, $ OC $, e $ AC $. Dado: - $ AB = 8 \, \text{cm} $ - $ BC = 10 \, \text{cm} $ - $ AD = 4 \, \text{cm} $ - O ponto $ O $ é o centro da circunferência. Primeiro, vamos analisar as informações fornecidas. Suponhamos que $ D $ seja o ponto de tangência da circunferência com o segmento $ AD $. Como $ O $ é o centro da circunferência, $ OD $ é perpendicular a $ AD $. Além disso, sabemos que $ AD = 4 \, \text{cm} $ e que $ AB $ e $ BC $ são tangentes à circunferência em pontos diferentes. Portanto, podemos usar o fato de que os segmentos tangentes a partir de um ponto externo a uma circunferência são iguais. Assim, temos: - $ AD = 4 \, \text{cm} $ - $ DB = AB - AD = 8 \, \text{cm} - 4 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} $ Podemos agora usar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $ \triangle AOD $ para encontrar $ AO $: \[ AO = \sqrt{AD^2 + OD^2} \] Mas como $ O $ é o centro da circunferência e $ D $ é o ponto de tangência, $ OD $ é o raio da circunferência. Vamos chamar o raio de $ R $. Então, $ AO = R $ e $ OC = R $ (porque $ O $ é o centro e $ C $ está na circunferência). Agora, precisamos determinar $ AC $. Sabemos que $ AC $ é a soma dos segmentos tangentes $ AD $ e $ DC $: \[ AC = AD + DC = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm} \] Portanto, o perímetro do triângulo $ \triangle AOC $ é: \[ P = AO + OC + AC = R + R + 8 \, \text{cm} = 2R + 8 \, \text{cm} \] Para determinar $ R $, precisamos mais informações que não foram fornecidas diretamente no problema. No entanto, se assumirmos que $ R $ é conhecido, o perímetro pode ser encontrado usando a fórmula acima. Se o problema fornecer $ R $, substitua na fórmula. Caso contrário, mais dados são necessários para resolver completamente o problema.

Question

Accepted Answer

Para calcular o perímetro do triângulo $ \triangle AOC $, precisamos determinar os comprimentos dos lados $ AO $, $ OC $, e $ AC $.

Dado:
- $ AB = 8 \, \text{cm} $
- $ BC = 10 \, \text{cm} $
- $ AD = 4 \, \text{cm} $
- O ponto $ O $ é o centro da circunferência.

Primeiro, vamos analisar as informações fornecidas. Suponhamos que $ D $ seja o ponto de tangência da circunferência com o segmento $ AD $. Como $ O $ é o centro da circunferência, $ OD $ é perpendicular a $ AD $.

Além disso, sabemos que $ AD = 4 \, \text{cm} $ e que $ AB $ e $ BC $ são tangentes à circunferência em pontos diferentes. Portanto, podemos usar o fato de que os segmentos tangentes a partir de um ponto externo a uma circunferência são iguais.

Assim, temos:
- $ AD = 4 \, \text{cm} $
- $ DB = AB - AD = 8 \, \text{cm} - 4 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} $

Podemos agora usar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $ \triangle AOD $ para encontrar $ AO $:
$$
AO = \sqrt{AD^2 + OD^2}
$$
Mas como $ O $ é o centro da circunferência e $ D $ é o ponto de tangência, $ OD $ é o raio da circunferência. Vamos chamar o raio de $ R $.

Então, $ AO = R $ e $ OC = R $ (porque $ O $ é o centro e $ C $ está na circunferência).

Agora, precisamos determinar $ AC $. Sabemos que $ AC $ é a soma dos segmentos tangentes $ AD $ e $ DC $:
$$
AC = AD + DC = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}
$$

Portanto, o perímetro do triângulo $ \triangle AOC $ é:
$$
P = AO + OC + AC = R + R + 8 \, \text{cm} = 2R + 8 \, \text{cm}
$$

Para determinar $ R $, precisamos mais informações que não foram fornecidas diretamente no problema. No entanto, se assumirmos que $ R $ é conhecido, o perímetro pode ser encontrado usando a fórmula acima.

Se o problema fornecer $ R $, substitua na fórmula. Caso contrário, mais dados são necessários para resolver completamente o problema.

(Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD =...

(Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm, e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:

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