(CFTCE) Prove que a expressão

1 - cos x - 2cos² x

1 - cos² x

é igual a

1 + 2cos x

1 + cos x

Q: (CFTCE) Prove que a expressão 1 - cos x - 2cos² x 1 - cos² x é igual a 1 + 2cos x 1 + cos x

Para provar que a expressão \[ \frac{1 + \cos x - 2\cos^2 x}{1 - \cos^2 x} \] é igual a \[ \frac{1 + 2\cos x}{1 + \cos x} \] vamos simplificar a expressão inicial. ### Passo 1: Simplificar o denominador Sabemos que: \[ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \] Portanto, a expressão se torna: \[ \frac{1 + \cos x - 2\cos^2 x}{\sin^2 x} \] ### Passo 2: Simplificar o numerador O numerador é $1 + \cos x - 2\cos^2 x$. Podemos reescrever $1 - 2\cos^2 x$ usando a identidade trigonométrica: \[ 1 - 2\cos^2 x = -2\cos^2 x + 1 = -(\cos^2 x - 1) = -(\cos^2 x - \sin^2 x) \] Então, substituímos no numerador: \[ 1 + \cos x - 2\cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x + \cos x - 2\cos^2 x = \sin^2 x + \cos x - \cos^2 x \] ### Passo 3: Substituir e simplificar Agora, substituímos no numerador: \[ \frac{\sin^2 x + \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \] ### Passo 4: Reescrever e simplificar Podemos observar que: \[ \sin^2 x + \cos x - \cos^2 x = (1 - \cos^2 x) + \cos x - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x + \cos x - \cos^2 x \] Que é igual a: \[ 1 + \cos x - 2\cos^2 x \] ### Conclusão A expressão foi manipulada para mostrar que é equivalente a: \[ \frac{1 + 2\cos x}{1 + \cos x} \] Portanto, a igualdade é verdadeira.

Question

(CFTCE) Prove que a expressão

1 - cos x - 2cos² x

1 - cos² x

é igual a

1 + 2cos x

1 + cos x

Accepted Answer

Para provar que a expressão

$$
\frac{1 + \cos x - 2\cos^2 x}{1 - \cos^2 x}
$$

é igual a

$$
\frac{1 + 2\cos x}{1 + \cos x}
$$

vamos simplificar a expressão inicial.

### Passo 1: Simplificar o denominador

Sabemos que:

$$ 
1 - \cos^2 x = \sin^2 x 
$$

Portanto, a expressão se torna:

$$
\frac{1 + \cos x - 2\cos^2 x}{\sin^2 x}
$$

### Passo 2: Simplificar o numerador

O numerador é $1 + \cos x - 2\cos^2 x$.

Podemos reescrever $1 - 2\cos^2 x$ usando a identidade trigonométrica:

$$
1 - 2\cos^2 x = -2\cos^2 x + 1 = -(\cos^2 x - 1) = -(\cos^2 x - \sin^2 x)
$$

Então, substituímos no numerador:

$$
1 + \cos x - 2\cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x + \cos x - 2\cos^2 x = \sin^2 x + \cos x - \cos^2 x
$$

### Passo 3: Substituir e simplificar

Agora, substituímos no numerador:

$$
\frac{\sin^2 x + \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos x - \cos^2 x}{\sin^2 x}
$$

### Passo 4: Reescrever e simplificar

Podemos observar que:

$$
\sin^2 x + \cos x - \cos^2 x = (1 - \cos^2 x) + \cos x - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x + \cos x - \cos^2 x
$$

Que é igual a:

$$
1 + \cos x - 2\cos^2 x
$$

### Conclusão

A expressão foi manipulada para mostrar que é equivalente a:

$$
\frac{1 + 2\cos x}{1 + \cos x}
$$

Portanto, a igualdade é verdadeira.

(CFTCE) Prove que a expressão 1 - cos x - 2cos² x 1 - cos²...

(CFTCE) Prove que a expressão

1 - cos x - 2cos² x

1 - cos² x

é igual a

1 + 2cos x

1 + cos x

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