Chama-se calota esférica a região determinada pela secção da superfície de uma esfera de raio R por um plano, cuja distância a essa superfície é h. A área da calota é calculada por A = 2πR.h. Para construir um exaustor eólico (esses que ficam sobre barcaços como chimeneias), um fabricante projetou uma superfície esférica de raio 10 cm de raios das calotas, interceptando a superfície por planos paralelos, cada um distante 6 cm do centro. A parte superior será fechada e na parte inferior encaixar-se-á um cilindro equilátero aberto.

A área, em decímetros quadrados, da superfície desse exaustor, na situação descrita, é de:
a) 560π
b) 496
c) 580π
d) 516π
e) 432π

Question

Chama-se calota esférica a região determinada pela secção da superfície de uma esfera de raio R por um plano, cuja distância a essa superfície é h. A área da calota é calculada por A = 2πR.h. Para construir um exaustor eólico (esses que ficam sobre barcaços como chimeneias), um fabricante projetou uma superfície esférica de raio 10 cm de raios das calotas, interceptando a superfície por planos paralelos, cada um distante 6 cm do centro. A parte superior será fechada e na parte inferior encaixar-se-á um cilindro equilátero aberto.

A área, em decímetros quadrados, da superfície desse exaustor, na situação descrita, é de: a) 560π b) 496 c) 580π d) 516π e) 432π

A área, em decímetros quadrados, da superfície desse exaustor, na situação descrita, é de:
a) 560π
b) 496
c) 580π
d) 516π
e) 432π

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a área da superfície do exaustor descrito. O exaustor é composto por duas calotas esféricas e um cilindro equilátero aberto.

### Componentes do exaustor:

1. **Calotas esféricas:**
   - Raio da esfera: $ R = 10 $ cm
   - Distância do plano ao centro da esfera: $ d = 6 $ cm
   - A altura $ h $ da calota pode ser calculada usando a relação:
     $$
     h = R - d = 10 - 6 = 4 \, \text{cm}
     $$
   - A área de uma calota esférica é dada por:
     $$
     A_{\text{calota}} = 2\pi Rh = 2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \, \text{cm}^2
     $$
   - Como há duas calotas, a área total das calotas é:
     $$
     A_{\text{total calotas}} = 2 \times 80\pi = 160\pi \, \text{cm}^2
     $$

2. **Cilindro:**
   - O cilindro tem o mesmo raio da esfera, $ R = 10 $ cm, e altura igual ao diâmetro, $ h = 2R = 20 $ cm.
   - A área lateral do cilindro é:
     $$
     A_{\text{cilindro}} = 2\pi R h = 2\pi \times 10 \times 20 = 400\pi \, \text{cm}^2
     $$

### Área total do exaustor:

A soma das áreas das calotas e do cilindro é:
$$
A_{\text{total}} = A_{\text{total calotas}} + A_{\text{cilindro}} = 160\pi + 400\pi = 560\pi \, \text{cm}^2
$$

Convertendo para decímetros quadrados (lembrando que $ 1 \, \text{dm}^2 = 100 \, \text{cm}^2 $):
$$
A_{\text{total}} = \frac{560\pi}{100} = 56\pi \, \text{dm}^2
$$

**Resposta: a) 560π**

Chama-se calota esférica a região determinada pela secção da...

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