(CM-RJ) O ciclista Tiago, andando em linha reta, passou sucessivamente pelos pontos M, N e O. Quando ele estava em M, avistou outro ciclista parado no ponto P, de modo que o ângulo PMN media 45°. Após pedalar 100 m até o ponto N, avistou o mesmo ciclista em P, de modo que o ângulo PNO media 75°. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em linha reta, que Tiago precisaria percorrer para ir do ponto N ao ponto P é igual a:

a) 100√6 / 3 m.
b) 100 m.
c) 100√2 m.
d) 100√3 m.
e) 200 m.

Question

Question image: (CM-RJ) O ciclista Tiago, andando em linha reta, passou sucessivamente pelos pontos M, N e O. Quando ele estava em M, avistou outro ciclista parado no ponto P, de modo que o ângulo PMN media 45°. Após pedalar 100 m até o ponto N, avistou o mesmo ciclista em P, de modo que o ângulo PNO media 75°. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em linha reta, que Tiago precisaria percorrer para ir do ponto N ao ponto P é igual a:

a) 100√6 / 3 m.
b) 100 m.
c) 100√2 m.
d) 100√3 m.
e) 200 m.

(CM-RJ) O ciclista Tiago, andando em linha reta, passou sucessivamente pelos pontos M, N e O. Quando ele estava em M, avistou outro ciclista parado no ponto P, de modo que o ângulo PMN media 45°. Após pedalar 100 m até o ponto N, avistou o mesmo ciclista em P, de modo que o ângulo PNO media 75°. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em linha reta, que Tiago precisaria percorrer para ir do ponto N ao ponto P é igual a: a) 100√6 / 3 m. b) 100 m. c) 100√2 m. d) 100√3 m. e) 200 m.

A

Antonio

26/11/24

a) 100√6 / 3 m.
b) 100 m.
c) 100√2 m.
d) 100√3 m.
e) 200 m.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos usar a Lei dos Senos no triângulo $ PMN $.

Temos:
- Ângulo $\angle PMN = 45^\circ$
- Ângulo $\angle PNM = 75^\circ$
- Distância $ MN = 100 \, \text{m} $

Primeiro, encontramos o terceiro ângulo do triângulo:
$$
\angle MPN = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ
$$

Agora, aplicamos a Lei dos Senos:
$$
\frac{MN}{\sin(\angle MPN)} = \frac{PN}{\sin(\angle PMN)}
$$

Substituímos os valores conhecidos:
$$
\frac{100}{\sin(60^\circ)} = \frac{PN}{\sin(45^\circ)}
$$

Sabemos que $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, então:
$$
\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{PN}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

Simplificando:
$$
\frac{200}{\sqrt{3}} = \frac{PN}{\sqrt{2}}
$$

Multiplicando cruzado para encontrar $PN$:
$$
PN = \frac{200 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}
$$

Racionalizando o denominador:
$$
PN = \frac{200 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{200 \cdot \sqrt{6}}{3}
$$

Portanto, a distância que Tiago precisaria percorrer é:

**Resposta: a) $\frac{100\sqrt{6}}{3}$ m**