Colégio Pedro II
Lista 4-Geometria Analítica-Equação da Circunferência
Questão 15. Considere o ponto $ P(7,9) $ e a circunferência de equaçāo $ \lambda:(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=25 $.
a) Mostre que $ P $ pertence a $ \lambda $.
b) Obtenha o centro $ C $ da circunferência.
c) Lembrando que a reta $ t $, tangente à circunferência $ \lambda $ no ponto $ P $, é perpendicular ao raio $ C P $, obtenha uma equação da reta $ t $.

Questão 16. Obtenha as equaçōes das retas paralelas à reta $ t: 3 x+4 y+1=0 $ que é tangentes à circunferência $ \lambda:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=9 $.

Question

Colégio Pedro II
Lista 4-Geometria Analítica-Equação da Circunferência
Questão 15. Considere o ponto $ P(7,9) $ e a circunferência de equaçāo $ \lambda:(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=25 $.
a) Mostre que $ P $ pertence a $ \lambda $.
b) Obtenha o centro $ C $ da circunferência.
c) Lembrando que a reta $ t $, tangente à circunferência $ \lambda $ no ponto $ P $, é perpendicular ao raio $ C P $, obtenha uma equação da reta $ t $.

Questão 16. Obtenha as equaçōes das retas paralelas à reta $ t: 3 x+4 y+1=0 $ que é tangentes à circunferência $ \lambda:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=9 $.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões 15 e 16 da lista de Geometria Analítica sobre a equação da circunferência.

### Questão 15

#### Parte a)
Para mostrar que o ponto $ P(7,9) $ pertence à circunferência $ \lambda $, substituímos as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificamos se a igualdade é satisfeita.

A equação da circunferência é:
$$
(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 25
$$

Substituindo $ x = 7 $ e $ y = 9 $:
$$
(7 - 3)^2 + (9 - 6)^2 = 25
$$
$$
4^2 + 3^2 = 25
$$
$$
16 + 9 = 25
$$
$$
25 = 25
$$

Portanto, o ponto $ P(7,9) $ pertence à circunferência $ \lambda $.

#### Parte b)
Para obter o centro $ C $ da circunferência, observamos a equação padrão da circunferência:
$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
$$

Comparando com a equação dada:
$$
(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 25
$$

Podemos identificar que o centro $ C $ é:
$$
C(3, 6)
$$

#### Parte c)
Para encontrar a equação da reta tangente $ t $ à circunferência $ \lambda $ no ponto $ P $, precisamos saber que a reta tangente é perpendicular ao raio $ CP $.

Primeiro, encontramos a inclinação do raio $ CP $:
$$
m_{CP} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 6}{7 - 3} = \frac{3}{4}
$$

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, sua inclinação $ m_t $ será o negativo do inverso de $ m_{CP} $:
$$
m_t = -\frac{1}{m_{CP}} = -\frac{4}{3}
$$

Agora, utilizando a equação da reta na forma ponto-inclinação $ y - y_1 = m(x - x_1) $, com $ P(7, 9) $ e $ m_t = -\frac{4}{3} $:
$$
y - 9 = -\frac{4}{3}(x - 7)
$$
$$
y - 9 = -\frac{4}{3}x + \frac{28}{3}
$$
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
$$
3y - 27 = -4x + 28
$$
$$
4x + 3y - 55 = 0
$$

Portanto, a equação da reta tangente $ t $ é:
$$
4x + 3y - 55 = 0
$$

### Questão 16

Para encontrar as equações das retas paralelas à reta $ t: 3x + 4y + 1 = 0 $ que são tangentes à circunferência $ \lambda:(x+1)^2+(y-1)^2=9 $, primeiro identificamos a inclinação da reta $ t $. A equação da reta na forma geral $ Ax + By + C = 0 $ tem inclinação:
$$
m = -\frac{A}{B} = -\frac{3}{4}
$$

As retas paralelas terão a mesma inclinação $ m = -\frac{3}{4} $.

A equação genérica de uma reta com essa inclinação é:
$$
y = -\frac{3}{4}x + b
$$

Como queremos que essas retas sejam tangentes à circunferência, a distância do centro da circunferência $ C(-1, 1) $ a essas retas deve ser igual ao raio da circunferência, que é $ r = 3 $.

A fórmula da distância de um ponto $ (x_1, y_1) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
$$
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Substituindo $ A = 3 $, $ B = 4 $, $ C = -b $, $ x_1 = -1 $, $ y_1 = 1 $:
$$
3(-1) + 4(1) - b = 3
$$
$$
\frac{|3(-1) + 4(1) + C|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3
$$
$$
\frac{|-3 + 4 - b|}{5} = 3
$$
$$
\frac{|1 - b|}{5} = 3
$$
$$
|1 - b| = 15
$$

Portanto, temos duas soluções:
$$
1 - b = 15 \quad \text{ou} \quad 1 - b = -15
$$
$$
b = -14 \quad \text{ou} \quad b = 16
$$

Assim, as equações das retas tangentes são:
$$
y = -\frac{3}{4}x - 14
$$
$$
y = -\frac{3}{4}x + 16
$$

Ou, na forma geral:
$$
3x + 4y + 56 = 0
$$
$$
3x + 4y - 64 = 0
$$

Portanto, as equações das retas tangentes são:
$$
3x + 4y + 56 = 0 \quad \text{e} \quad 3x + 4y - 64 = 0
$$

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