Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,6 m de altura está
a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos.
a) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem
por ele oferecida.
b) Calcule a altura da imagem do cliente

Question

Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do supermercado, facilitando o controle da movimentação de pessoas, são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,6 m de altura está 
a 2,25 m de distância do vértice de um dos espelhos. 
a) Indique o tipo de espelho utilizado e a natureza da imagem 
por ele oferecida. 
b) Calcule a altura da imagem do cliente

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos analisar cada parte:

a) **Tipo de espelho e natureza da imagem:**

1. A distância focal $ f $ é dada como 25 cm. Como estamos lidando com espelhos esféricos e a distância focal é positiva em módulo, podemos inferir que se trata de um espelho côncavo, pois para espelhos convexos, a distância focal é negativa.

2. No entanto, para fins de vigilância em supermercados, normalmente são utilizados espelhos convexos porque eles fornecem uma imagem virtual, ereta e reduzida, permitindo uma visão mais ampla do ambiente. Assim, apesar da indicação do problema, o contexto sugere que o espelho é convexo.

3. Natureza da imagem em um espelho convexo:
   - A imagem é virtual (não pode ser projetada em uma tela).
   - A imagem é ereta (mesmo sentido que o objeto).
   - A imagem é reduzida (menor que o objeto).

b) **Cálculo da altura da imagem:**

Vamos usar a equação dos espelhos esféricos e a fórmula de ampliação para encontrar a altura da imagem.

1. Equação dos espelhos esféricos:
   $$
   \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
   $$
   Onde:
   - $ f = -25 \, \text{cm} $ (espelho convexo, portanto a distância focal é negativa),
   - $ d_o = 225 \, \text{cm} $ (distância do objeto ao espelho),
   - $ d_i $ é a distância da imagem ao espelho que precisamos encontrar.

2. Substituindo os valores na equação:
   $$
   \frac{1}{-25} = \frac{1}{225} + \frac{1}{d_i}
   $$

Resolvendo para $ \frac{1}{d_i} $:
   $$
   \frac{1}{d_i} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{225}
   $$

Calculando:
   $$
   \frac{1}{d_i} = -\frac{9}{225} - \frac{1}{225} = -\frac{10}{225} = -\frac{2}{45}
   $$

Portanto:
   $$
   d_i = -\frac{45}{2} \approx -22,5 \, \text{cm}
   $$

3. A fórmula de ampliação ($ m $) é:
   $$
   m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}
   $$

Onde:
   - $ h_i $ é a altura da imagem,
   - $ h_o = 160 \, \text{cm} $ (altura do objeto).

4. Substituindo os valores:
   $$
   m = -\frac{-22,5}{225} = \frac{22,5}{225} = \frac{1}{10}
   $$

Então, a altura da imagem $ h_i $ é:
   $$
   h_i = m \cdot h_o = \frac{1}{10} \cdot 160 = 16 \, \text{cm}
   $$

Portanto, a altura da imagem do cliente é de 16 cm.

Com o objetivo de obter mais visibilidade da área interna do...

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