Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4
algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5?

Question

Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 
algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5?

Accepted Answer

Para que um número seja divisível por 5, ele deve terminar em 0 ou 5. Como o conjunto fornecido não contém o número 0, somente os números que terminam em 5 podem ser divisíveis por 5.

Primeiro, vamos calcular o total de números de 4 algarismos distintos que podem ser formados com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1. Escolha dos 4 algarismos dentre os 7 disponíveis:
$$
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35
$$

2. Cada escolha de 4 algarismos pode ser permutada para formar diferentes números de 4 dígitos:
$$
4! = 24
$$

Portanto, o total de números de 4 algarismos distintos é:
$$
35 \times 24 = 840
$$

Agora, vamos contar quantos desses números são divisíveis por 5 (ou seja, quantos terminam em 5):
1. Fixamos o último dígito como 5.
2. Escolhemos os outros 3 dígitos dentre os 6 restantes (1, 2, 3, 4, 6, 7):
$$
\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20
$$

3. Cada escolha de 3 algarismos pode ser permutada para formar diferentes números de 3 dígitos:
$$
3! = 6
$$

Portanto, o total de números de 4 algarismos distintos que terminam em 5 é:
$$
20 \times 6 = 120
$$

Finalmente, para encontrar a quantidade de números que NÃO são divisíveis por 5, subtraímos o número de números divisíveis por 5 do total de números possíveis:
$$
840 - 120 = 720
$$

Assim, o número de números de 4 algarismos distintos formados pelos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} que NÃO são divisíveis por 5 é:
$$
\boxed{720}
$$

Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se...

Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5?

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