como calcular o rotacional (gradiente x f) de uma matriz 3x2

Question

Accepted Answer

Para calcular o rotacional do produto vetorial entre o gradiente e um vetor $ \mathbf{f} $, precisamos primeiro entender os conceitos envolvidos.

1. **Gradiente $ \nabla $:** O gradiente é um operador que age sobre um campo escalar para produzir um campo vetorial. Se tivermos uma função escalar $ \phi(x, y, z) $, seu gradiente é dado por:

$$
\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)
$$

2. **Produto Vetorial $ \nabla \times \mathbf{f} $:** O produto vetorial entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ em $ \mathbb{R}^3 $ é dado pelo determinante:

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a_1 & a_2 & a_3 \
b_1 & b_2 & b_3 \
\end{vmatrix}
= \left( a_2b_3 - a_3b_2 \right) \mathbf{i} - \left( a_1b_3 - a_3b_1 \right) \mathbf{j} + \left( a_1b_2 - a_2b_1 \right) \mathbf{k}
$$

3. **Rotacional $ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) $:** O rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{f} $ é dado por:

$$
\nabla \times \mathbf{f} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
f_1 & f_2 & f_3 \
\end{vmatrix}
= \left( \frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z} \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial f_3}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial z} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y} \right) \mathbf{k}
$$

No entanto, se você está lidando com uma matriz 3x2, isso sugere que você tem um vetor ou campo vetorial em um espaço de dimensão inferior. Neste caso, o conceito de rotacional precisa ser adaptado, pois o rotacional tradicional é definido apenas em três dimensões.

Se você está trabalhando com uma matriz 3x2, provavelmente está lidando com um campo vetorial em duas dimensões (por exemplo, $ \mathbf{f} = (f_1(x, y), f_2(x, y)) $). Em duas dimensões, o rotacional de um campo vetorial $ \mathbf{f} = (f_1, f_2) $ é um escalar dado por:

$$
\nabla \times \mathbf{f} = \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y}
$$

Para calcular o rotacional do produto vetorial entre o gradiente e um vetor em duas dimensões, precisaríamos mais informações sobre a função escalar inicial e o vetor $ \mathbf{f} $. Se estiver lidando com um problema específico, forneça mais detalhes para que possamos ajudar melhor.