Como faz fração geratriz

Question

Accepted Answer

Para encontrar a fração geratriz de um número decimal, é importante considerar se o decimal é exato ou periódico. Vou explicar os dois casos:

### 1. Decimal Exato

Um decimal exato é aquele que termina, como 0,75 ou 0,125. Para encontrar a fração geratriz:

1. **Escreva o número sem a vírgula**: Por exemplo, 0,75 torna-se 75.
2. **Conte quantas casas decimais há**: 0,75 tem duas casas decimais.
3. **Divida pelo número 1 seguido pelo mesmo número de zeros das casas decimais**: Como há duas casas decimais, dividimos por 100.

$$
   \frac{75}{100}
   $$

4. **Simplifique a fração**: Divida o numerador e o denominador pelo maior divisor comum (MDC). No caso de 75 e 100, o MDC é 25.

$$
   \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}
   $$

Portanto, a fração geratriz de 0,75 é $\frac{3}{4}$.

### 2. Decimal Periódico

Um decimal periódico é aquele que possui uma repetição infinita, como 0,666... ou 0,123123...

#### Decimal Periódico Simples

Exemplo: 0,666...

1. **Seja $x$ o número decimal**: $x = 0,666...$
2. **Multiplique $x$ por 10 elevado ao número de dígitos do período**: Aqui, o período é 6 (um dígito), então multiplique por 10.

$$
   10x = 6,666...
   $$

3. **Subtraia a equação original da nova equação**:

$$
   10x - x = 6,666... - 0,666...
   $$

$$
   9x = 6
   $$

4. **Resolva para $x$**:

$$
   x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
   $$

Portanto, a fração geratriz de 0,666... é $\frac{2}{3}$.

#### Decimal Periódico Composto

Exemplo: 0,123123...

1. **Seja $x$ o número decimal**: $x = 0,123123...$
2. **Multiplique $x$ por 10 elevado ao número de dígitos até o final do período**: Aqui, o período é 123 (três dígitos), então multiplique por 1000.

$$
   1000x = 123,123123...
   $$

3. **Subtraia a equação original da nova equação**:

$$
   1000x - x = 123,123123... - 0,123123...
   $$

$$
   999x = 123
   $$

4. **Resolva para $x$**:

$$
   x = \frac{123}{999}
   $$

5. **Simplifique a fração**: O MDC de 123 e 999 é 3.

$$
   \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}
   $$

Portanto, a fração geratriz de 0,123123... é $\frac{41}{333}$.

Esses são os passos para encontrar a fração geratriz de números decimais exatos e periódicos.