Considere a função f(x) = ln (2x + 3)
Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico

Question

Accepted Answer

Para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $f(x) = \ln(2x + 3)$, vamos seguir alguns passos.

### Assíntotas Verticais

As assíntotas verticais ocorrem onde a função tende ao infinito. Para a função logarítmica, isso acontece quando o argumento do logaritmo se aproxima de zero a partir dos valores positivos, pois o logaritmo não está definido para zero ou números negativos.

Portanto, definimos o argumento igual a zero para encontrar possíveis assíntotas verticais:
$$2x + 3 = 0$$
$$2x = -3$$
$$x = -\frac{3}{2}$$

Portanto, $x = -\frac{3}{2}$ é uma assíntota vertical, pois é o ponto onde o argumento do logaritmo se torna zero, e a função não está definida para valores de $x$ menores que $-\frac{3}{2}$.

### Assíntotas Horizontais

As assíntotas horizontais são encontradas analisando o comportamento da função quando $x$ tende ao infinito ou ao menos infinito.

Para $x \to \infty$:
$$\lim_{x \to \infty} \ln(2x + 3)$$
À medida que $x$ torna-se muito grande, o termo $2x + 3$ também se torna muito grande, e o logaritmo de um número grande continua crescendo, mas a uma taxa que diminui. Portanto, a função não se aproxima de nenhuma constante específica, indicando que não há assíntota horizontal nesse direção.

Para $x \to -\frac{3}{2}$ (desde que $x > -\frac{3}{2}$):
Como discutido, a função tende ao infinito negativo, pois o argumento do logaritmo se aproxima de zero por valores positivos.

### Esboço do Gráfico

- A função tem uma assíntota vertical em $x = -\frac{3}{2}$.
- Não há assíntotas horizontais.
- Para valores de $x$ maiores que $-\frac{3}{2}$, a função é crescente.
- À medida que $x$ aumenta, $f(x)$ também aumenta, mas a uma taxa decrescente.
- A função intercepta o eixo y quando $x = 0$, então $f(0) = \ln(3)$.

Para esboçar o gráfico, você deve:

1. Desenhar uma linha pontilhada vertical em $x = -\frac{3}{2}$ para representar a assíntota vertical.
2. Marcar o ponto onde a função intercepta o eixo y, que é $(0, \ln(3))$.
3. Desenhar a curva, começando próximo à assíntota vertical em $x = -\frac{3}{2}$ e aumentando lentamente à medida que se move para a direita, sempre acima do eixo x (para $x > -\frac{3}{2}$) e nunca tocando a assíntota.

Lembre-se de que a função logarítmica tem um domínio para $x > -\frac{3}{2}$ e varia de $-\infty$ a $\infty$.

Considere a função f(x) = ln (2x + 3) Encontrar as assíntota...

Considere a função f(x) = ln (2x + 3) Encontrar as assíntotas verticais ou horizontais, se existirem, e esboçar o gráfico

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