Considere a função real Y = F (x) dada implicitamente por dois pontos x Ao Cubo mais y ao cubo igual a 2 . considere ainda que dx/dt = 1. Qual será o valor de dy/dt quando x = 1 e y = 1?

Q: Considere a função real Y = F (x) dada implicitamente por dois pontos x Ao Cubo mais y ao cubo igual a 2 . considere ainda que dx/dt = 1. Qual será o valor de dy/dt quando x = 1 e y = 1?

Para encontrar o valor de $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 1$ e $y = 1$, precisamos usar a diferenciação implícita na equação dada: \[ x^3 + y^3 = 2. \] Diferenciando ambos os lados da equação em relação a $t$, obtemos: \[ \frac{d}{dt}(x^3) + \frac{d}{dt}(y^3) = \frac{d}{dt}(2). \] A derivada de uma constante é zero, então: \[ \frac{d}{dt}(x^3) + \frac{d}{dt}(y^3) = 0. \] Aplicando a regra da cadeia, temos: \[ 3x^2 \frac{dx}{dt} + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. \] Sabemos que $\frac{dx}{dt} = 1$, então substituímos: \[ 3x^2 \cdot 1 + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. \] Simplificando, obtemos: \[ 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. \] Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar: \[ x^2 + y^2 \frac{dy}{dt} = 0. \] Agora, substituímos $x = 1$ e $y = 1$: \[ 1^2 + 1^2 \frac{dy}{dt} = 0. \] Isso resulta em: \[ 1 + \frac{dy}{dt} = 0. \] Portanto: \[ \frac{dy}{dt} = -1. \] Assim, o valor de $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 1$ e $y = 1$ é $-1$.

Question

Considere a função real  Y = F (x)  dada implicitamente por dois pontos x Ao Cubo mais y ao cubo igual a 2 .  considere ainda que dx/dt = 1. Qual será o valor de dy/dt quando x = 1 e y = 1?

Accepted Answer

Para encontrar o valor de $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 1$ e $y = 1$, precisamos usar a diferenciação implícita na equação dada:

$$ x^3 + y^3 = 2. $$

Diferenciando ambos os lados da equação em relação a $t$, obtemos:

$$ \frac{d}{dt}(x^3) + \frac{d}{dt}(y^3) = \frac{d}{dt}(2). $$

A derivada de uma constante é zero, então:

$$ \frac{d}{dt}(x^3) + \frac{d}{dt}(y^3) = 0. $$

Aplicando a regra da cadeia, temos:

$$ 3x^2 \frac{dx}{dt} + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. $$

Sabemos que $\frac{dx}{dt} = 1$, então substituímos:

$$ 3x^2 \cdot 1 + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. $$

Simplificando, obtemos:

$$ 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dt} = 0. $$

Podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:

$$ x^2 + y^2 \frac{dy}{dt} = 0. $$

Agora, substituímos $x = 1$ e $y = 1$:

$$ 1^2 + 1^2 \frac{dy}{dt} = 0. $$

Isso resulta em:

$$ 1 + \frac{dy}{dt} = 0. $$

Portanto:

$$ \frac{dy}{dt} = -1. $$

Assim, o valor de $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 1$ e $y = 1$ é $-1$.

Considere a função real Y = F (x) dada implicitamente por ...

Considere a função real Y = F (x) dada implicitamente por dois pontos x Ao Cubo mais y ao cubo igual a 2 . considere ainda que dx/dt = 1. Qual será o valor de dy/dt quando x = 1 e y = 1?

Ask a question and receive an answer instantly