Considere a matriz A=aij 3x2 tal que aij=i-j. Calcule det (A.At)

Q: Considere a matriz A=aij 3x2 tal que aij=i-j. Calcule det (A.At)

Para calcular o determinante de $A \cdot A^T$, primeiro precisamos encontrar a matriz $A$ e sua transposta $A^T$. Dada a matriz $A = [a_{ij}]_{3x2}$ tal que $a_{ij} = i - j$, temos: \[ A = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-2 \\ 2-1 & 2-2 \\ 3-1 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Agora, vamos encontrar a transposta de $A$, que é $A^T$: \[ A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Em seguida, calculamos o produto $A \cdot A^T$: \[ A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1)) & (0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0) & (0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) \\ (1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 1) \\ (2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)) & (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \] Agora, precisamos calcular o determinante da matriz resultante $A \cdot A^T$: \[ \det(A \cdot A^T) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} \] Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus para matrizes $3 \times 3$: \[ \det(A \cdot A^T) = 1 \cdot 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 \cdot 2 - ((-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 \cdot 0) \] \[ = 5 + 0 + 0 - (1 + 4 + 0) \] \[ = 5 - 5 = 0 \] Portanto, o determinante de $A \cdot A^T$ é: \[ \boxed{0} \]

Question

Accepted Answer

Para calcular o determinante de $A \cdot A^T$, primeiro precisamos encontrar a matriz $A$ e sua transposta $A^T$.

Dada a matriz $A = [a_{ij}]_{3x2}$ tal que $a_{ij} = i - j$, temos:

$$
A = \begin{pmatrix}
1-1 & 1-2 \
2-1 & 2-2 \
3-1 & 3-2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & -1 \
1 & 0 \
2 & 1
\end{pmatrix}
$$

Agora, vamos encontrar a transposta de $A$, que é $A^T$:

$$
A^T = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Em seguida, calculamos o produto $A \cdot A^T$:

$$
A \cdot A^T = \begin{pmatrix}
0 & -1 \
1 & 0 \
2 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \
-1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1)) & (0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0) & (0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1) \
(1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 1) \
(2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)) & (2 \cdot 1 + 1 \cdot 0) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 1 & 2 \
-1 & 2 & 5
\end{pmatrix}
$$

Agora, precisamos calcular o determinante da matriz resultante $A \cdot A^T$:

$$
\det(A \cdot A^T) =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -1 \
0 & 1 & 2 \
-1 & 2 & 5
\end{vmatrix}
$$

Para calcular esse determinante, usamos a regra de Sarrus para matrizes $3 \times 3$:

$$
\det(A \cdot A^T) = 1 \cdot 1 \cdot 5 + 0 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 \cdot 2 - ((-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 \cdot 0)
$$
$$
= 5 + 0 + 0 - (1 + 4 + 0)
$$
$$
= 5 - 5 = 0
$$

Portanto, o determinante de $A \cdot A^T$ é:

$$
\boxed{0}
$$

Considere a matriz A=aij 3x2 tal que aij=i-j. Calcule det (A...

Considere a matriz A=aij 3x2 tal que aij=i-j. Calcule det (A.At)

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