Considere a senoide de equação $y=\operatorname {sen) (a x)$, onde $a$ é real positivo. Determine a área
delimitada pelo eixo dos $x$ e um semi-periodo de $y..۱).

A
1(3/al)

B (2/3 al)

C
\(1/al)

D
1(2/al)

E
\(a$

Question

Considere a senoide de equação $y=\operatorname {sen) (a x)$, onde $a$ é real positivo. Determine a área
delimitada pelo eixo dos $x$ e um semi-periodo de $y..۱).

A
1(3/al)

B (2/3 al)

C
\(1/al)

D
1(2/al)

E
\(a$

Accepted Answer

**Resposta: D**

Para determinar a área delimitada pelo eixo dos x e um semi-período da função $y = \sin(ax)$, onde $a$ é um número real positivo, precisamos calcular a integral definida da função em um intervalo correspondente a meio período.

O período $T$ da função $y = \sin(ax)$ é dado por:
$$
T = \frac{2\pi}{a}
$$
Portanto, meio período é $T/2 = \frac{\pi}{a}$.

A área sob a curva em um semi-período pode ser calculada pela integral:
$$
A = \int_0^{\frac{\pi}{a}} \sin(ax) \, dx
$$
Para resolver essa integral, fazemos a substituição $u = ax$, então $du = a \, dx$, e $dx = \frac{du}{a}$. Quando $x = 0$, $u = 0$, e quando $x = \frac{\pi}{a}$, $u = \pi$. Assim, a integral se torna:
$$
A = \int_0^{\pi} \sin(u) \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int_0^{\pi} \sin(u) \, du
$$
A integral de $\sin(u)$ de 0 a $\pi$ é:
$$
\int_0^{\pi} \sin(u) \, du = [-\cos(u)]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
$$
Portanto, a área $A$ é:
$$
A = \frac{1}{a} \cdot 2 = \frac{2}{a}
$$
Assim, a área delimitada pelo eixo dos x e um semi-período da função $y = \sin(ax)$ é $\frac{2}{a}$.

Considere a senoide de equação

Considere a senoide de equação $y=\operatorname {sen) (a x)$ , onde $a$ é real positivo. Determine a área delimitada pelo eixo dos $x$ e um semi-periodo de $y..۱).

A 1(3/al)

B (2/3 al)

C $1/al)

D 1(2/al)

E $a$

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Considere a senoide de equação

Considere a senoide de equação y=\operatorname {sen) (a x), onde aaa é real positivo. Determine a área delimitada pelo eixo dos xxx e um semi-periodo de $y..۱). A 1(3/al) B (2/3 al) C $1/al) D 1(2/al) E aaa

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Considere a senoide de equação $y=\operatorname {sen) (a x)$ , onde $a$ é real positivo. Determine a área delimitada pelo eixo dos $x$ e um semi-periodo de $y..۱).

A 1(3/al)

B (2/3 al)

C $1/al)

D 1(2/al)

E $a$