Considere três números em PG, tais que a soma
deles seja 39 e o produto, 729. Determine o módulo
da diferença dos termos extremos.

Question

Considere três números em PG, tais que a soma 
deles seja 39 e o produto, 729. Determine o módulo 
da diferença dos termos extremos.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos considerar três números em progressão geométrica (PG), que são $a$, $ar$ e $ar^2$. Sabemos que a soma desses números é 39 e o produto é 729.

1. **Equação da soma:**
   $$
   a + ar + ar^2 = 39
   $$
   $$
   a(1 + r + r^2) = 39
   $$

2. **Equação do produto:**
   $$
   a \cdot ar \cdot ar^2 = 729
   $$
   $$
   a^3r^3 = 729
   $$

Podemos reescrever 729 como uma potência de 9: 
   $$
   729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6
   $$
   Assim, temos:
   $$
   a^3r^3 = 3^6
   $$
   $$
   (ar)^3 = 3^6
   $$
   $$
   ar = 3^2 = 9
   $$

3. **Substituindo $ar = 9$ na equação da soma:**
   $$
   a + 9 + \frac{81}{a} = 39
   $$
   Multiplicando toda a equação por $a$ para eliminar a fração:
   $$
   a^2 + 9a + 81 = 39a
   $$
   $$
   a^2 - 30a + 81 = 0
   $$

4. **Resolvendo a equação quadrática:**
   Usamos a fórmula de Bhaskara:
   $$
   a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Onde $b = -30$, $a = 1$ e $c = 81$:
   $$
   a = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   a = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 324}}{2}
   $$
   $$
   a = \frac{30 \pm \sqrt{576}}{2}
   $$
   $$
   a = \frac{30 \pm 24}{2}
   $$

As soluções são:
   $$
   a = \frac{54}{2} = 27 \quad \text{ou} \quad a = \frac{6}{2} = 3
   $$

5. **Determinando os valores de $r$:**

Se $a = 27$, então $ar = 9$ implica $27r = 9$, logo $r = \frac{1}{3}$.

Se $a = 3$, então $ar = 9$ implica $3r = 9$, logo $r = 3$.

6. **Calculando o módulo da diferença dos termos extremos:**

Para $a = 27$ e $r = \frac{1}{3}$:
   $$
   a_1 = 27, \quad a_3 = ar^2 = 27 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3
   $$
   Módulo da diferença: $|27 - 3| = 24$

Para $a = 3$ e $r = 3$:
   $$
   a_1 = 3, \quad a_3 = ar^2 = 3 \cdot 3^2 = 27
   $$
   Módulo da diferença: $|3 - 27| = 24$

Portanto, o módulo da diferença dos termos extremos é $\boxed{24}$.

Considere três números em PG, tais que a soma deles seja 3...

Considere três números em PG, tais que a soma deles seja 39 e o produto, 729. Determine o módulo da diferença dos termos extremos.

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