Considere um trapézio isósceles de área igual a 100 cm² e que está circunscrito a uma circunferência, conforme a figura a seguir.

Assim, a medida do lado AD é, em cm, igual a

Question

Considere um trapézio isósceles de área igual a 100 cm² e que está circunscrito a uma circunferência, conforme a figura a seguir.

Assim, a medida do lado AD é, em cm, igual a

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar o trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência.

Dado:
- Área do trapézio = $100 \, \text{cm}^2$
- Ângulo $ \angle DAB = 60^\circ $

Como o trapézio é circunscrito a uma circunferência, a soma das bases é igual à soma dos lados não paralelos:

$$ AB + DC = AD + BC $$

Vamos chamar:
- $ AB = b_1 $ (base menor)
- $ DC = b_2 $ (base maior)
- $ AD = BC = l $ (lados não paralelos)

A área $ A $ de um trapézio é dada por:

$$ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} $$

Sabemos que $ A = 100 \, \text{cm}^2 $.

Além disso, como $ \angle DAB = 60^\circ $, podemos usar trigonometria para encontrar a altura $ h $:

$$ h = l \cdot \sin(60^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Substituindo na fórmula da área:

$$ 100 = \frac{(b_1 + b_2) \cdot l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} $$

$$ 100 = \frac{(b_1 + b_2) \cdot l \cdot \sqrt{3}}{4} $$

$$ 400 = (b_1 + b_2) \cdot l \cdot \sqrt{3} $$

Como $ b_1 + b_2 = 2l $, substituímos:

$$ 400 = 2l^2 \cdot \sqrt{3} $$

$$ 200 = l^2 \cdot \sqrt{3} $$

$$ l^2 = \frac{200}{\sqrt{3}} $$

$$ l = \sqrt{\frac{200}{\sqrt{3}}} $$

Racionalizando:

$$ l = \sqrt{\frac{200 \cdot \sqrt{3}}{3}} $$

$$ l = \frac{\sqrt{600}}{3} $$

$$ l = \frac{10\sqrt{6}}{3} $$

Portanto, a medida do lado $ AD $ é aproximadamente $ \frac{10\sqrt{6}}{3} \, \text{cm} $.

Considere um trapézio isósceles de área igual a 100 cm² e qu...