considere um triângulo equilátero ABC de lado 1 o volume do sólido obtido ao geral triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A é paralela ao lado BC,mantendo o paralelismo da reta r com o lado BC do triangulo

Question

Accepted Answer

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero $ABC$ de lado $1$ em torno de uma reta $r$ que passa pelo vértice $A$ e é paralela ao lado $BC$, podemos pensar no sólido como a diferença entre dois cones com a mesma altura.

A altura $h$ do triângulo equilátero, que também será a altura dos cones, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados ao traçar uma altura do triângulo equilátero. Se dividirmos o lado do triângulo equilátero $1$ ao meio, obtemos dois triângulos retângulos com hipotenusa de comprimento $1$ e um dos catetos medindo $\frac{1}{2}$. Assim, podemos calcular a altura $h$ como:

$$h = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

O volume $V$ de um cone é dado por:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Onde $r$ é o raio da base do cone e $h$ é a altura.

Para o sólido gerado, temos dois cones: um maior com raio $1$ (distância do vértice $A$ ao lado $BC$) e altura $\frac{\sqrt{3}}{2}$, e um menor, "invisível", gerado pela rotação do triângulo em torno da reta $r$, com raio $\frac{1}{2}$ (metade do lado do triângulo, já que a reta é paralela ao lado $BC$) e a mesma altura.

O volume do cone maior $V_{\text{maior}}$ é:

$$V_{\text{maior}} = \frac{1}{3} \pi (1)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$

E o volume do cone menor $V_{\text{menor}}$ é:

$$V_{\text{menor}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi \sqrt{3}}{24}$$

O volume do sólido desejado é a diferença entre os volumes dos dois cones:

$$V_{\text{sólido}} = V_{\text{maior}} - V_{\text{menor}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} - \frac{\pi \sqrt{3}}{24} = \frac{4\pi \sqrt{3}}{24} - \frac{\pi \sqrt{3}}{24} = \frac{3\pi \sqrt{3}}{24}$$

$$V_{\text{sólido}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{8}$$

Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo equilátero $ABC$ de lado $1$ em torno da reta $r$ que passa pelo vértice $A$ e é paralela ao lado $BC$ é $\frac{\pi \sqrt{3}}{8}$ unidades cúbicas.

considere um triângulo equilátero ABC de lado 1 o volume do ...

considere um triângulo equilátero ABC de lado 1 o volume do sólido obtido ao geral triângulo ABC em torno da reta r que passa pelo vértice A é paralela ao lado BC,mantendo o paralelismo da reta r com o lado BC do triangulo

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