Considere uma pirâmide quadrangular
regular inscrita em um cubo de 2 cm de
aresta Calcule:|
a) a área lateral da pirâmide; c) a razão
entre o volume da pirâmide e do cubo; d)
a razão entre as áreas totais da pirâmide
e do cubo. b) a área total da pirâmide

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### Dados:
- Aresta do cubo: $ a = 2 \, \text{cm} $
- A pirâmide é quadrangular regular e está inscrita no cubo.

### a) Área lateral da pirâmide

A pirâmide quadrangular regular tem uma base quadrada e quatro faces laterais triangulares. Cada face lateral é um triângulo isósceles.

A aresta da base da pirâmide é igual à aresta do cubo:
$$ l = 2 \, \text{cm} $$

Para encontrar a altura ($h_t$) de cada triângulo lateral, precisamos considerar a altura da pirâmide ($h_p$). Como a pirâmide está inscrita no cubo, sua altura é igual à aresta do cubo:
$$ h_p = 2 \, \text{cm} $$

Cada triângulo lateral tem base $l$ e altura $h_t$. A altura $h_t$ de cada triângulo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo que tem metade da base do triângulo ($1 \, \text{cm}$) e a altura da pirâmide ($2 \, \text{cm}$) como catetos:

$$ h_t = \sqrt{h_p^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$

A área de um triângulo é dada por:
$$ A_{\text{triângulo}} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \, \text{cm}^2 $$

Como são quatro triângulos:
$$ A_{\text{lateral}} = 4 \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \, \text{cm}^2 $$

### b) Área total da pirâmide

A área total da pirâmide é a soma da área lateral e da área da base. A área da base é:
$$ A_{\text{base}} = l^2 = 2^2 = 4 \, \text{cm}^2 $$

Portanto, a área total é:
$$ A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + A_{\text{base}} = 4\sqrt{5} + 4 \, \text{cm}^2 $$

### c) Razão entre o volume da pirâmide e o volume do cubo

O volume da pirâmide ($V_p$) é dado por:
$$ V_p = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} \, \text{cm}^3 $$

O volume do cubo ($V_c$) é:
$$ V_c = a^3 = 2^3 = 8 \, \text{cm}^3 $$

A razão entre os volumes é:
$$ \frac{V_p}{V_c} = \frac{\frac{8}{3}}{8} = \frac{1}{3} $$

### d) Razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo

A área total do cubo ($A_c$) é:
$$ A_c = 6a^2 = 6 \cdot 2^2 = 24 \, \text{cm}^2 $$

A área total da pirâmide já foi calculada:
$$ A_{\text{total}} = 4\sqrt{5} + 4 \, \text{cm}^2 $$

A razão entre as áreas totais é:
$$ \frac{A_{\text{total}} \, \text{da pirâmide}}{A_c} = \frac{4\sqrt{5} + 4}{24} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{24} = \frac{\sqrt{5} + 1}{6} $$

### Resumo das respostas:

**a)** Área lateral da pirâmide: $ 4\sqrt{5} \, \text{cm}^2 $

**b)** Área total da pirâmide: $ 4\sqrt{5} + 4 \, \text{cm}^2 $

**c)** Razão entre o volume da pirâmide e do cubo: $ \frac{1}{3} $

**d)** Razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo: $ \frac{\sqrt{5} + 1}{6} $

Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um c...

Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2 cm de aresta Calcule:| a) a área lateral da pirâmide; c) a razão entre o volume da pirâmide e do cubo; d) a razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo. b) a área total da pirâmide

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