Considere uma variável aleatória X que assume os valores 2, 4, e 6, com probabilidades P(X = 2) = 0,3, P(X = 4) = 0,4, e P(X = 6) = 0,3. Qual é a variância de \(X\) ? A 1,44 B 2,00 C 2,56 D 4,00 E 5,76

Para calcular a variância de $X$, precisamos primeiro encontrar a esperança $\mathbb{E}(X)$ e depois usar a fórmula da variância.

1. Esperança $\mathbb{E}(X)$:

$$\mathbb{E}(X) = 2 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,4 + 6 \cdot 0,3$$ $$= 0,6 + 1,6 + 1,8 = 4,0$$

1. Variância $\text{Var}(X)$:

A variância é calculada como:

$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$$

Primeiro, calcule $\mathbb{E}(X^2)$:

$$\mathbb{E}(X^2) = 2^2 \cdot 0,3 + 4^2 \cdot 0,4 + 6^2 \cdot 0,3$$ $$= 4 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,4 + 36 \cdot 0,3$$ $$= 1,2 + 6,4 + 10,8 = 18,4$$

Agora, substitua na fórmula da variância:

$$\text{Var}(X) = 18,4 - 4,0^2$$ $$= 18,4 - 16 = 2,4$$

Portanto, a resposta correta é: Nenhuma das opções apresentadas está correta. A variância calculada é 2,4.