Para resolver as questões sobre a função $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$, vamos seguir os passos abaixo:

a) Intervalos em que $f$ é crescente ou decrescente

1. Calcule a derivada primeira $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 3) = 6x^2 - 18x + 12$$

1. Encontre os pontos críticos:

   Resolva $f'(x) = 0$:

$$6x^2 - 18x + 12 = 0$$

Dividindo por 6:

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Fatorando:

$$(x-1)(x-2) = 0$$

Os pontos críticos são $x = 1$ e $x = 2$.

1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento:

   Teste valores nos intervalos definidos pelos pontos críticos:

   • Para $x < 1$, escolha $x = 0$: $f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) + 12 = 12$ (crescente)
   • Para $1 < x < 2$, escolha $x = 1.5$: $f'(1.5) = 6(1.5)^2 - 18(1.5) + 12 = -1.5$ (decrescente)
   • Para $x > 2$, escolha $x = 3$: $f'(3) = 6(3)^2 - 18(3) + 12 = 12$ (crescente)

   Resposta: Crescente em $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$; Decrescente em $(1, 2)$.

b) Valores máximos e mínimos locais

Os valores máximos e mínimos locais ocorrem nos pontos críticos.

• Em $x = 1$, a função muda de crescente para decrescente (máximo local).
• Em $x = 2$, a função muda de decrescente para crescente (mínimo local).

Resposta: Máximo local em $x = 1$; Mínimo local em $x = 2$.

c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão

1. Calcule a derivada segunda $f''(x)$:

$$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18$$

1. Encontre os pontos de inflexão:

   Resolva $f''(x) = 0$:

$$12x - 18 = 0 \Rightarrow x = \frac{18}{12} = 1.5$$

1. Determine os intervalos de concavidade:

   Teste valores nos intervalos definidos pelo ponto de inflexão:

   • Para $x < 1.5$, escolha $x = 1$: $f''(1) = 12(1) - 18 = -6$ (concavidade para baixo)
   • Para $x > 1.5$, escolha $x = 2$: $f''(2) = 12(2) - 18 = 6$ (concavidade para cima)

   Resposta: Concavidade para baixo em $(-\infty, 1.5)$; Concavidade para cima em $(1.5, \infty)$. Ponto de inflexão em $x = 1.5$.