Dada a seguinte equação da elongação para uma partícula em MHS
x=2⋅cos(πt2+3π2)
para x em centímetros e t em segundos, determine, para esse MHS:
a) a amplitude. b) a pulsação. c) a fase inicial. d) a elongaçăo x no instante t=1 s. e) a equação horária da velocidade. f) a velocidade da partícula no instante t=1 s. g) a equação horária da aceleração. h) a aceleração da partícula no instante t=1 s.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar a equação dada para a elongação de uma partícula em Movimento Harmônico Simples (MHS), que é:

$$x = 2\cdot \cos(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})$$

a) **Amplitude**: A amplitude (A) é o coeficiente que multiplica a função cosseno na equação da elongação. Neste caso, a amplitude é $A = 2$ cm.

b) **Pulsação**: A pulsação ($\omega$) é o coeficiente que multiplica o tempo ($t$) dentro da função cosseno ou seno. No entanto, nesta equação, temos uma dependência quadrática do tempo, $\pi t^2$, o que significa que não estamos lidando com um MHS típico cuja equação é da forma $x = A\cos(\omega t + \phi)$. Portanto, não podemos definir uma pulsação constante $\omega$ neste contexto, pois a taxa de variação do argumento do cosseno com o tempo não é constante.

c) **Fase inicial**: A fase inicial ($\phi$) é o termo constante dentro da função cosseno ou seno. Neste caso, a fase inicial é $\phi = \frac{3\pi}{2}$.

d) **Elongação $x$ no instante $t = 1$ s**:
Substituímos $t = 1$ na equação da elongação:

$$x(1) = 2\cdot \cos(\pi \cdot 1^2 + \frac{3\pi}{2})$$
$$x(1) = 2\cdot \cos(\pi + \frac{3\pi}{2})$$
$$x(1) = 2\cdot \cos(\frac{5\pi}{2})$$

Lembrando que $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, então:

$$x(1) = 2 \cdot 0 = 0$$ cm

e) **Equação horária da velocidade**: A velocidade é a derivada primeira da função de elongação em relação ao tempo. Assim, temos:

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[2\cdot \cos(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})]$$

Usando a regra da cadeia para derivar, obtemos:

$$v(t) = 2 \cdot (-\sin(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})) \cdot (2\pi t) = -4\pi t \sin(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})$$

f) **Velocidade da partícula no instante $t = 1$ s**:
Substituindo $t = 1$ na equação horária da velocidade:

$$v(1) = -4\pi \cdot 1 \cdot \sin(\pi \cdot 1^2 + \frac{3\pi}{2})$$
$$v(1) = -4\pi \cdot \sin(\frac{5\pi}{2})$$

Lembrando que $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, então:

$$v(1) = -4\pi$$ cm/s

g) **Equação horária da aceleração**: A aceleração é a derivada segunda da função de elongação em relação ao tempo ou a derivada primeira da velocidade em relação ao tempo. Assim:

$$a(t) = \frac{dv}{dt}$$

Derivando a expressão encontrada para $v(t)$, temos:

$$a(t) = \frac{d}{dt}[-4\pi t \sin(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})]$$

Esta derivação é mais complexa e envolve o uso da regra do produto e da cadeia. O resultado final será:

$$a(t) = -4\pi \sin(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2}) - 8\pi^2 t^2 \cos(\pi t^2 + \frac{3\pi}{2})$$

h) **Aceleração da partícula no instante $t = 1$ s**:
Substituindo $t = 1$ na equação horária da aceleração:

$$a(1) = -4\pi \sin(\pi \cdot 1^2 + \frac{3\pi}{2}) - 8\pi^2 \cdot 1^2 \cos(\pi \cdot 1^2 + \frac{3\pi}{2})$$

Utilizando $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$ e $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$:

$$a(1) = -4\pi \cdot 1 - 8\pi^2 \cdot 0$$
$$a(1) = -4\pi$$ cm/s²

Note-se que a parte da derivação para a aceleração foi simplificada, omitindo os passos intermediários detalhados devido à complexidade e ao espaço limitado.

Dada a seguinte equação da elongação para uma partícula em M...

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