dada função quadrática f(x)=3x²-4x+1, determine

Q: dada função quadrática f(x)=3x²-4x+1, determine

Para a função quadrática $ f(x) = 3x^2 - 4x + 1 $, podemos determinar várias características, como o vértice, as raízes e o valor máximo ou mínimo. 1. **Coeficientes da função**: - $ a = 3 $ - $ b = -4 $ - $ c = 1 $ 2. **Vértice da parábola**: O vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ é dado por: \[ x_v = \frac{-b}{2a} \] Substituindo os valores: \[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Para encontrar o valor de $ y $ no vértice, substituímos $ x_v $ na função: \[ y_v = f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1 \] \[ y_v = 3 \times \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{12}{9} - \frac{24}{9} + \frac{9}{9} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \] Assim, o vértice é $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $. 3. **Raízes da função**: As raízes são encontradas usando a fórmula quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Primeiro, calculamos o discriminante ($ \Delta $): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 16 - 12 = 4 \] Como o discriminante é positivo, há duas raízes reais e distintas: \[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] Portanto, as raízes são $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = \frac{1}{3} $. 4. **Concavidade**: Como o coeficiente $ a = 3 $ é positivo, a parábola é côncava para cima. Resumo: - Vértice: $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $ - Raízes: $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = \frac{1}{3} $ - Concavidade: Para cima Se precisar de mais alguma informação ou esclarecimento, sinta-se à vontade para perguntar!

Question

Accepted Answer

Para a função quadrática $ f(x) = 3x^2 - 4x + 1 $, podemos determinar várias características, como o vértice, as raízes e o valor máximo ou mínimo.

1. **Coeficientes da função**:
   - $ a = 3 $
   - $ b = -4 $
   - $ c = 1 $

2. **Vértice da parábola**:
   O vértice de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ é dado por:

$$
   x_v = \frac{-b}{2a}
   $$

Substituindo os valores:

$$
   x_v = \frac{-(-4)}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
   $$

Para encontrar o valor de $ y $ no vértice, substituímos $ x_v $ na função:

$$
   y_v = f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1
   $$

$$
   y_v = 3 \times \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 1 = \frac{12}{9} - \frac{24}{9} + \frac{9}{9} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}
   $$

Assim, o vértice é $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $.

3. **Raízes da função**:
   As raízes são encontradas usando a fórmula quadrática:

$$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$

Primeiro, calculamos o discriminante ($ \Delta $):

$$
   \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 1 = 16 - 12 = 4
   $$

Como o discriminante é positivo, há duas raízes reais e distintas:

$$
   x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1
   $$

$$
   x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \times 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}
   $$

Portanto, as raízes são $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = \frac{1}{3} $.

4. **Concavidade**:
   Como o coeficiente $ a = 3 $ é positivo, a parábola é côncava para cima.

Resumo:
- Vértice: $ \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $
- Raízes: $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = \frac{1}{3} $
- Concavidade: Para cima

Se precisar de mais alguma informação ou esclarecimento, sinta-se à vontade para perguntar!

dada função quadrática f(x)=3x²-4x+1, determine

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