Dado: o momento de inércia de uma haste delgada
I = \frac{ML^{2}}{3}.

Uma barra uniforme de massa M=179 g e comprimento L=57 cm está presa por uma das extremidades, e é livre para rotacionar em torno desse pivô no plano vertical, como indicado na figura abaixo. A barra é solta do repouso na posição horizontal.

Calcule o módulo da aceleração angular (em rad/s²) inicial da barra.

Observação: expresse sua resposta com 01 (uma) casa decimal.

Question

Dado: o momento de inércia de uma haste delgada
I = \frac{ML^{2}}{3}.

Uma barra uniforme de massa M=179 g e comprimento L=57 cm está presa por uma das extremidades, e é livre para rotacionar em torno desse pivô no plano vertical, como indicado na figura abaixo. A barra é solta do repouso na posição horizontal.

Calcule o módulo da aceleração angular (em rad/s²) inicial da barra.

Observação: expresse sua resposta com 01 (uma) casa decimal.

Accepted Answer

Para calcular a aceleração angular inicial da barra, podemos usar a segunda lei de Newton para rotações:

$$
\tau = I \cdot \alpha
$$

Onde:
- $\tau$ é o torque.
- $I$ é o momento de inércia.
- $\alpha$ é a aceleração angular.

O torque devido ao peso da barra é calculado como:

$$
\tau = M \cdot g \cdot \frac{L}{2}
$$

O momento de inércia $I$ para uma haste delgada rotacionando por uma extremidade é:

$$
I = \frac{ML^2}{3}
$$

Substituindo na equação do torque:

$$
M \cdot g \cdot \frac{L}{2} = \frac{ML^2}{3} \cdot \alpha
$$

Cancelando $M$ e rearranjando para $\alpha$:

$$
\alpha = \frac{3g}{2L}
$$

Agora, substituímos os valores dados:
- $M = 179 \, \text{g} = 0,179 \, \text{kg}$
- $L = 57 \, \text{cm} = 0,57 \, \text{m}$
- $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$

$$
\alpha = \frac{3 \times 9,8}{2 \times 0,57}
$$

$$
\alpha \approx \frac{29,4}{1,14} \approx 25,8 \, \text{rad/s}^2
$$

Portanto, o módulo da aceleração angular inicial da barra é aproximadamente $25,8 \, \text{rad/s}^2$.

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