Dados os pontos $ \mathrm{A}(-1,0,3), \mathrm{B}(4,6,-2) $ e $ \mathrm{C}(0,3,4) $, obtenha a equação geral do plano $ \alpha $ que passa por estes pontos.
A $ 5 x+6 y-5 z+10=0 $
B $ 10 x+12 y-4 z+13=0 $
C $ 21 x-10 y+9 z-6=0 $
D $ -4 x+y-6 z+9=0 $

Q: Dados os pontos $ \mathrm{A}(-1,0,3), \mathrm{B}(4,6,-2) $ e $ \mathrm{C}(0,3,4) $, obtenha a equação geral do plano $ \alpha $ que passa por estes pontos. A $ 5 x+6 y-5 z+10=0 $ B $ 10 x+12 y-4 z+13=0 $ C $ 21 x-10 y+9 z-6=0 $ D $ -4 x+y-6 z+9=0 $

Para encontrar a equação geral do plano $ \alpha $ que passa pelos pontos $ A(-1,0,3) $, $ B(4,6,-2) $, e $ C(0,3,4) $, podemos utilizar o fato de que um plano pode ser definido por um ponto $ P_0(x_0, y_0, z_0) $ pertencente ao plano e um vetor normal $ \vec{n} = (a, b, c) $ ao plano. A equação geral do plano é dada por: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Ou de forma simplificada: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Primeiro, encontramos dois vetores diretores no plano, utilizando os pontos dados. Podemos tomar os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - (-1), 6 - 0, -2 - 3) = (5, 6, -5) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - (-1), 3 - 0, 4 - 3) = (1, 3, 1) \] Agora, encontramos um vetor normal ao plano $ \alpha $ fazendo o produto vetorial entre $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 6 & -5 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = (6*1 - (-5)*3)\hat{i} - (5*1 - (-5)*1)\hat{j} + (5*3 - 6*1)\hat{k} \] \[ \vec{n} = (6 + 15)\hat{i} - (5 + 5)\hat{j} + (15 - 6)\hat{k} \] \[ \vec{n} = 21\hat{i} - 10\hat{j} + 9\hat{k} \] Portanto, o vetor normal ao plano $ \alpha $ é $ \vec{n} = (21, -10, 9) $. Para encontrar a equação geral do plano, podemos usar o ponto $ A(-1,0,3) $ e o vetor normal $ \vec{n} = (21, -10, 9) $: \[ 21(x + 1) - 10(y - 0) + 9(z - 3) = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ 21x - 10y + 9z + 21 - 27 = 0 \] \[ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 \] Assim, a equação geral do plano $ \alpha $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $, e $ C $ é: \[ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 \] Portanto, a resposta correta é a opção $C$ $ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 $.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a equação geral do plano $ \alpha $ que passa pelos pontos $ A(-1,0,3) $, $ B(4,6,-2) $, e $ C(0,3,4) $, podemos utilizar o fato de que um plano pode ser definido por um ponto $ P_0(x_0, y_0, z_0) $ pertencente ao plano e um vetor normal $ \vec{n} = (a, b, c) $ ao plano. A equação geral do plano é dada por:

$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$

Ou de forma simplificada:

$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Primeiro, encontramos dois vetores diretores no plano, utilizando os pontos dados. Podemos tomar os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $:

$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - (-1), 6 - 0, -2 - 3) = (5, 6, -5) $$
$$ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - (-1), 3 - 0, 4 - 3) = (1, 3, 1) $$

Agora, encontramos um vetor normal ao plano $ \alpha $ fazendo o produto vetorial entre $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $:

$$ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 5 & 6 & -5 \ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} $$

$$ \vec{n} = (6*1 - (-5)*3)\hat{i} - (5*1 - (-5)*1)\hat{j} + (5*3 - 6*1)\hat{k} $$

$$ \vec{n} = (6 + 15)\hat{i} - (5 + 5)\hat{j} + (15 - 6)\hat{k} $$

$$ \vec{n} = 21\hat{i} - 10\hat{j} + 9\hat{k} $$

Portanto, o vetor normal ao plano $ \alpha $ é $ \vec{n} = (21, -10, 9) $.

Para encontrar a equação geral do plano, podemos usar o ponto $ A(-1,0,3) $ e o vetor normal $ \vec{n} = (21, -10, 9) $:

$$ 21(x + 1) - 10(y - 0) + 9(z - 3) = 0 $$

Simplificando, obtemos:

$$ 21x - 10y + 9z + 21 - 27 = 0 $$

$$ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 $$

Assim, a equação geral do plano $ \alpha $ que passa pelos pontos $ A $, $ B $, e $ C $ é:

$$ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 $$

Portanto, a resposta correta é a opção $C$ $ 21x - 10y + 9z - 6 = 0 $.

Dados os pontos \( \mathrm{A}(-1,0,3), \mathrm{B}(4,6,-2) \) e \( \mathrm{C}(0,3,4) \), obtenha a equação geral do plano \( \alpha \) que passa por estes pontos. A \( 5 x+6 y-5 z+10=0 \) B \( 10 x+12 y-4 z+13=0 \) C \( 21 x-10 y+9 z-6=0 \) D \( -4 x+y-6 z+9=0 \)