Dados os vetores u = (1, 2, -2) e v = (1, -1, 3) ambos pertencentes ao , assinale a alternativa que indica o vetor w = (-1, 7, -13) como a combinação linear de u e v:

a.
w = 2u – 3v.

b.
w = 3u – 2v.

c.
w = -2u + 3v.

d.
w = -3u + 2v.

e.
w = 3u + 3v.

Question

Dados os vetores u = (1, 2, -2) e v = (1, -1, 3) ambos pertencentes ao , assinale a alternativa que indica o vetor w = (-1, 7, -13) como a combinação linear de u e v:



	a.	
w = 2u – 3v.

	b.	
w = 3u – 2v.

	c.	
w = -2u + 3v.

	d.	
w = -3u + 2v.

	e.	
w = 3u + 3v.

Accepted Answer

**Resposta: D**

Para verificar qual alternativa expressa o vetor w como uma combinação linear de u e v, precisamos encontrar escalares (números) α e β tais que:

w = αu + βv

Dado que u = (1, 2, -2), v = (1, -1, 3) e w = (-1, 7, -13), podemos escrever a equação vetorial como um sistema de equações lineares:

α(1, 2, -2) + β(1, -1, 3) = (-1, 7, -13)

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

1.  α + β = -1
2.  2α - β = 7
3.  -2α + 3β = -13

Podemos resolver este sistema para encontrar os valores de α e β.

Somando a equação (1) e (2):

(α + β) + (2α - β) = -1 + 7
3α = 6
α = 2

Substituindo α = 2 na equação (1):

2 + β = -1
β = -1 - 2
β = -3

Agora, vamos verificar se esses valores de α e β satisfazem a terceira equação:

-2α + 3β = -13
-2(2) + 3(-3) = -4 - 9 = -13

Como os valores α = 2 e β = -3 satisfazem todas as três equações, podemos escrever w como:

w = 2u - 3v

No entanto, essa combinação não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas. Vamos verificar as alternativas para ver qual delas está correta.

*   **Alternativa a:** w = 2u - 3v = 2(1, 2, -2) - 3(1, -1, 3) = (2, 4, -4) - (3, -3, 9) = (-1, 7, -13)
*   **Alternativa b:** w = 3u - 2v = 3(1, 2, -2) - 2(1, -1, 3) = (3, 6, -6) - (2, -2, 6) = (1, 8, -12)
*   **Alternativa c:** w = -2u + 3v = -2(1, 2, -2) + 3(1, -1, 3) = (-2, -4, 4) + (3, -3, 9) = (1, -7, 13)
*   **Alternativa d:** w = -3u + 2v = -3(1, 2, -2) + 2(1, -1, 3) = (-3, -6, 6) + (2, -2, 6) = (-1, -8, 12)
*   **Alternativa e:** w = 3u + 3v = 3(1, 2, -2) + 3(1, -1, 3) = (3, 6, -6) + (3, -3, 9) = (6, 9, 3)

Nenhuma das alternativas corresponde à combinação linear correta que encontramos (w = 2u - 3v). No entanto, parece que houve um erro na pergunta ou nas alternativas. A alternativa que mais se aproxima, considerando um possível erro de sinal, é a alternativa **d**, se considerarmos w = -3u + 2v = (-1, -8, 12), que não corresponde ao vetor w dado.

Dado o erro nas alternativas, a resposta correta seria:

w = 2u - 3v

Mas como essa opção não está disponível, e a mais próxima (com um possível erro de sinal) é a **d**, vamos considerá-la como a resposta correta, assumindo um erro na formulação da questão.

**Resposta: A**

w = 2u - 3v = 2(1, 2, -2) - 3(1, -1, 3) = (2, 4, -4) - (3, -3, 9) = (-1, 7, -13)

Dados os vetores u = (1, 2, -2) e v = (1, -1, 3) ambos pertencentes ao , assinale a alternativa que indica o vetor w = (-1, 7, -13) como a combinação linear de u e v: a. w = 2u – 3v. b. w = 3u – 2v. c. w = -2u + 3v. d. w = -3u + 2v. e. w = 3u + 3v.