Para resolver o problema, vamos calcular as permutações dos livros nas duas situações apresentadas.

a) Livros dispostos em qualquer ordem:

Temos um total de 4 livros de Matemática, 3 de Geografia e 2 de Biologia, somando 9 livros ao todo. Queremos saber de quantas formas podemos arrumá-los na estante.

O número de permutações de 9 livros distintos é dado por $9!$ (fatorial de 9):

$$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$$

Portanto, há 362880 maneiras de arrumar os livros em qualquer ordem.

b) Livros de mesmo assunto fiquem juntos:

Aqui, consideramos cada conjunto de livros do mesmo assunto como um "bloco". Temos 3 blocos: Matemática, Geografia e Biologia.

Primeiro, calculamos de quantas formas podemos organizar esses 3 blocos:

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Dentro de cada bloco, podemos organizar os livros de diferentes formas:

• Matemática: $4!$ formas

$$4! = 24$$

• Geografia: $3!$ formas

$$3! = 6$$

• Biologia: $2!$ formas

$$2! = 2$$

Multiplicamos o número de arranjos dos blocos pelo número de arranjos dentro de cada bloco:

$$6 \times 24 \times 6 \times 2 = 1728$$

Portanto, há 1728 maneiras de arrumar os livros de modo que os de mesmo assunto fiquem juntos.