Departamento de Matemática - Área 2 - UFPE - 2023.2
CÁLCULO 3 - Turmas T4 e T8
AVALIAÇÃO DA SEGUNDA UNIDADE
A folha de questões deverá ser devolvida junto ao caderno de respostas.
NOME DO ALUNO:
TURMA:
- Sejam C1 o arco da parábola y = 1 - x² no plano xy compreendindo entre os pontos (-1,0) e (1,0), e C2 o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por F(x,y) = (y² + 1, ye² + kxy).
Aqui, k é uma constante.
(a) (2,0 pts) Seja γ a curva fechada obtida unindo C1 e C2, orientada positivamente. Use o teorema de Green para calcular ∮γ F · dr.
(b) (2,0 pts) Determine o valor de k para o qual o campo vetorial F do enunciado seja conservativo. Para este valor de k, calcule ∫C1 F · dr, onde C1 é o arco de parábola descrito no enunciado. Justifique seu argumento.
- Considere o plano com equação z = 10 - 2x - y, orientado com campo normal para cima.
(a) (0,5 pt) Parametrize este plano e calcule o elemento de área orientado dS.
(b) (0,5 pt) Considere o cilindro vertical com equação x²+y² = 1 (z livre). Este cilindro intersecta o plano do enunciado em uma curva fechada C. Considerando C como a fronteira (orientada positivamente) de uma certa região S do plano do enunciado, faça uma figura ilustrando C, S e as orientações de S e C.
(c) (0,5 pt) Calcule rot(F) para o campo vetorial dado por F(x,y,z) = (cos(x³) + y², e^y + z², x³).
(d) (2,5 pts) Se C é a curva descrita em (b) e F é o campo em (c), calcule ∫C F · dr.
- (2,0 pts) Seja E o sólido descrito pelas inequações x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Considere o campo vetorial dado por F(x,y,z) = (x + ey², cos(x²), z + αx² + y³),
onde α é uma constante. A fronteira de E consiste de um tubo S, uma tampa D1 e uma base D2 (oriente-as da forma que a E esteja orientada positivamente). O fluxo de F através de D1 vale 5π unidades e o fluxo de F através de D2 vale -6π unidades, calcule o fluxo de F através do tubo S. OBS: para resolver esta questão, não será necessário determinar o valor de α.
