Determinado brinquedo consiste em um discc
com cinco botões coloridos, os quais se iluminam
em sequência. O objetivo desse brinquedo e
estimular a memória, exigindo que os jogadores
reproduzam a sequência de cores exibida
pressionando os botões coloridos na mesma
ordem em que eles se iluminaram
#€
6
Azul
Laranja
Preto
Verde
Roxo
Em determinado nível,
brinquedo emite a
seguinte sequência de cores: azul, azul, laranja,
azul, verde, roxo, azul, azul, laranja, azul, preto e
verde.
Ao chegar nesse nível, certo jogador só
conseguiu memorizar a primeira cor, a quantidade
de vezes que cada botão acendeu e as posições
das cores roxo e preto na sequência
Com base nas memorizações do jogador, quantas
sequências distintas de botões ele pode formar?
O
A.83160
B.1260
C.24
D.756
E.166 320

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos primeiro identificar a quantidade de vezes que cada cor aparece na sequência e as posições específicas das cores roxo e preto, conforme o jogador memorizou.

A sequência é: azul, azul, laranja, azul, verde, roxo, azul, azul, laranja, azul, preto, verde.

Contando, temos:
- Azul: 6 vezes
- Laranja: 2 vezes
- Verde: 2 vezes
- Roxo: 1 vez
- Preto: 1 vez

Sabemos também que o jogador lembra as posições exatas do roxo e do preto na sequência. Isso significa que, para os demais botões (azul, laranja e verde), precisamos calcular quantas permutações possíveis existem, considerando suas repetições.

A fórmula para permutações com repetições é:

$$
\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}
$$

onde $n$ é o número total de itens e $n_1, n_2, \ldots, n_k$ são as quantidades de repetições dos itens distintos.

Neste caso, excluindo o roxo e o preto (já definidos em suas posições), temos um total de $12 - 2 = 10$ espaços para preencher com azul, laranja e verde. Então:

- $n = 10$ (total de posições a serem preenchidas)
- Para azul ($n_{\text{azul}} = 6$), laranja ($n_{\text{laranja}} = 2$) e verde ($n_{\text{verde}} = 2$), a fórmula fica:

$$
\frac{10!}{6! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{3,628,800}{720 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3,628,800}{2,880} = 1,260
$$

Portanto, com base nas informações fornecidas e nas memorizações do jogador, ele pode formar $\boxed{1,260}$ sequências distintas de botões, o que corresponde à opção **B. 1260**.

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