Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3,1) e B(5,7)

Question

Accepted Answer

Para determinar a equação da mediatriz do segmento com extremos $ A(-3,1) $ e $ B(5,7) $, seguimos os seguintes passos:

1. **Encontrar o ponto médio do segmento $ AB $:**

O ponto médio $ M $ de um segmento com extremos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $ é dado por:

$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$

Substituindo os valores dos pontos $ A $ e $ B $:

$$
M = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{8}{2} \right) = (1, 4)
$$

2. **Determinar o coeficiente angular da reta $ AB $:**

O coeficiente angular $ m $ de uma reta que passa pelos pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $ é dado por:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

Substituindo os valores dos pontos $ A $ e $ B $:

$$
m = \frac{7 - 1}{5 - (-3)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
$$

3. **Determinar o coeficiente angular da mediatriz:**

A mediatriz é perpendicular ao segmento $ AB $, logo seu coeficiente angular $ m' $ será o inverso negativo do coeficiente angular de $ AB $:

$$
m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}
$$

4. **Encontrar a equação da mediatriz:**

A equação geral de uma reta é dada por:

$$
y - y_1 = m(x - x_1)
$$

Usando o ponto médio $ M(1, 4) $ e o coeficiente angular $ m' = -\frac{4}{3} $:

$$
y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 1)
$$

Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:

$$
3(y - 4) = -4(x - 1)
$$

Distribuindo:

$$
3y - 12 = -4x + 4
$$

Reorganizando para a forma padrão $ ax + by + c = 0 $:

$$
4x + 3y - 16 = 0
$$

Portanto, a equação da mediatriz do segmento de extremos $ A(-3,1) $ e $ B(5,7) $ é:

$$
4x + 3y - 16 = 0
$$

Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(...