Determinar as funções derivadas para as áreas e volume de cada sólidos estudado

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Para determinar as funções derivadas relacionadas às áreas e volumes de sólidos, precisaremos aplicar regras de diferenciação. Vamos abordar alguns dos sólidos mais comuns: esfera, cilindro e cone. Para cada sólido, vamos encontrar a função que descreve sua área superficial $A$ e seu volume $V$, e em seguida, determinar suas derivadas em relação a uma variável apropriada (geralmente o raio $r$ ou a altura $h$).

### Esfera

- **Volume**: A fórmula do volume $V$ de uma esfera de raio $r$ é dada por
$$ V = \frac{4}{3}\pi r^3. $$
A derivada do volume em relação ao raio $r$ é
$$ \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2. $$

- **Área Superficial**: A área superficial $A$ de uma esfera de raio $r$ é
$$ A = 4\pi r^2. $$
A derivada da área superficial em relação ao raio $r$ é
$$ \frac{dA}{dr} = 8\pi r. $$

### Cilindro

Para um cilindro de raio $r$ e altura $h$:

- **Volume**: O volume $V$ é dado por
$$ V = \pi r^2 h. $$
As derivadas do volume são:
  - Em relação ao raio $r$: $\frac{dV}{dr} = 2\pi rh$.
  - Em relação à altura $h$: $\frac{dV}{dh} = \pi r^2$.

- **Área Superficial**: A área superficial total $A$ (incluindo as bases) é
$$ A = 2\pi r(h + r). $$
As derivadas da área superficial são:
  - Em relação ao raio $r$: $\frac{dA}{dr} = 2\pi (h + 2r)$.
  - Em relação à altura $h$: $\frac{dA}{dh} = 2\pi r$.

### Cone

Para um cone de raio $r$ e altura $h$, com uma geratriz $l = \sqrt{r^2 + h^2}$:

- **Volume**: O volume $V$ é
$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h. $$
As derivadas do volume são mais complexas devido à dependência entre $r$ e $h$, mas focando na variável $r$, temos:
  - Em relação ao raio $r$: $\frac{dV}{dr} = \frac{2}{3}\pi rh$.

- **Área Superficial**: A área lateral $A_L$ é
$$ A_L = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}. $$
Adicionando a área da base, a área total $A$ é
$$ A = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}. $$
A derivada da área total em relação ao raio $r$ envolveria o uso da regra da cadeia e seria mais complicada de expressar sem especificar a relação entre $r$ e $h$.

Essas são as fórmulas básicas e suas derivadas para esfera, cilindro e cone. As derivadas nos dão a taxa de variação dessas grandezas (volume e área) em relação a mudanças no raio ou na altura, o que é fundamental em muitas aplicações de engenharia e física.

Determinar as funções derivadas para as áreas e volume de ca...

Determinar as funções derivadas para as áreas e volume de cada sólidos estudado

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