Determine a altura do losango sob as seguintes condições:

a) A medida do lado é 8 cm, e uma das diagonais mede 12 cm.

b) A medida é 16 cm e a diagonal maior mede 16 cm.

c) O perímetro é 60 cm e a diagonal menor é um ângulo de 120°.

d) Os diagonais estão entre na razão 3:4.

Question

Determine a altura do losango sob as seguintes condições:

a) A medida do lado é 8 cm, e uma das diagonais mede 12 cm.

b) A medida é 16 cm e a diagonal maior mede 16 cm.

c) O perímetro é 60 cm e a diagonal menor é um ângulo de 120°.

d) Os diagonais estão entre na razão 3:4.

Accepted Answer

Para determinar a área do losango nas condições dadas, vamos analisar cada item:

a) **A medida do lado é 8 cm, e uma das diagonais mede 12 cm.**

Para encontrar a área de um losango, podemos usar a fórmula:

$$
\text{Área} = \frac{d_1 \times d_2}{2}
$$

Sabemos que uma diagonal $d_1 = 12$ cm. Precisamos encontrar a outra diagonal $d_2$.

Como sabemos que o lado do losango é 8 cm, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelas metades das diagonais:

$$
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 8^2
$$

Substituindo $d_1 = 12$:

$$
6^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64
$$

$$
36 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 64
$$

$$
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 28
$$

$$
\frac{d_2}{2} = \sqrt{28}
$$

$$
d_2 = 2\sqrt{28} = 2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}
$$

Agora, calculamos a área:

$$
\text{Área} = \frac{12 \times 4\sqrt{7}}{2} = 24\sqrt{7} \text{ cm}^2
$$

b) **O perímetro é 40 dm e a diagonal maior mede 16 dm.**

Primeiro, encontramos o lado do losango. O perímetro é dado por $4l = 40$, então $l = 10$ dm.

Usando o teorema de Pitágoras novamente com a diagonal maior $d_1 = 16$ dm:

$$
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2
$$

$$
8^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100
$$

$$
64 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100
$$

$$
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 36
$$

$$
\frac{d_2}{2} = 6
$$

$$
d_2 = 12 \text{ dm}
$$

Calculando a área:

$$
\text{Área} = \frac{16 \times 12}{2} = 96 \text{ dm}^2
$$

c) **O perímetro é 60 cm, e os lados formam entre si um ângulo de 120°.**

Neste caso, usamos a fórmula da área em função do lado $l$ e do ângulo $\theta$:

$$
\text{Área} = l^2 \sin(\theta)
$$

O lado $l$ é $ \frac{60}{4} = 15$ cm e $\theta = 120^\circ$.

$$
\text{Área} = 15^2 \times \sin(120^\circ) = 225 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 112,5\sqrt{3} \text{ cm}^2
$$

d) **As diagonais estão na razão $ \frac{3}{4} $, e o perímetro é 50 m.**

Se $d_1 = 3x$ e $d_2 = 4x$, o lado $l$ é $ \frac{50}{4} = 12,5$ m.

Pelo teorema de Pitágoras:

$$
\left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2 = 12,5^2
$$

$$
\frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = 156,25
$$

$$
\frac{25x^2}{4} = 156,25
$$

$$
25x^2 = 625
$$

$$
x^2 = 25
$$

$$
x = 5
$$

Então, $d_1 = 15$ m e $d_2 = 20$ m.

Calculando a área:

$$
\text{Área} = \frac{15 \times 20}{2} = 150 \text{ m}^2
$$

Determine a altura do losango sob as seguintes condições: a...

Determine a altura do losango sob as seguintes condições:

a) A medida do lado é 8 cm, e uma das diagonais mede 12 cm.

b) A medida é 16 cm e a diagonal maior mede 16 cm.

c) O perímetro é 60 cm e a diagonal menor é um ângulo de 120°.

d) Os diagonais estão entre na razão 3:4.

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