Determine a área da região contida abaixo da parábola $ y=-x^{2}+4 $ e acima da parábola $ y=x^{2} $.
A $ \square $ $ \frac{16}{3} \sqrt{2} $
в $ \square $ $ \square $ $ \frac{4}{3} \sqrt{2} $
c $ \square $ $ \frac{17}{3} \sqrt{2} $
D $ \square $ $ \frac{14}{3} \sqrt{2} $
E $ \square $ $ \square $ $ \frac{11}{3} \sqrt{2} $

Question

Accepted Answer

**Resposta: B**

Para determinar a área da região contida entre as duas parábolas $ y = -x^2 + 4 $ e $ y = x^2 $, precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

1. **Encontrando os pontos de interseção:**
   Igualamos as duas equações:
   $$
   -x^2 + 4 = x^2
   $$
   $$
   4 = 2x^2
   $$
   $$
   x^2 = 2
   $$
   $$
   x = \pm \sqrt{2}
   $$
   Portanto, os pontos de interseção são $ x = -\sqrt{2} $ e $ x = \sqrt{2} $.

2. **Calculando a área:**
   A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções no intervalo $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$:
   $$
   A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left[(-x^2 + 4) - (x^2)\right] \, dx
   $$
   Simplificando a expressão dentro da integral:
   $$
   A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx
   $$

3. **Integrando:**
   $$
   A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx - \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2x^2 \, dx
   $$
   A primeira integral é:
   $$
   \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 4 \left( \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) \right) = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
   $$
   A segunda integral é:
   $$
   \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 2 \left( \frac{(\sqrt{2})^3}{3} - \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} \right)
   $$
   $$
   = 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}
   $$

4. **Subtraindo as integrais:**
   $$
   A = 8\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3} = 8\sqrt{2} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}
   $$

Portanto, a área da região contida entre as duas parábolas é:

$$
\boxed{\frac{16\sqrt{2}}{3}}
$$

No entanto, ao revisar as opções fornecidas, parece que houve um erro na listagem das alternativas. A resposta correta deveria ser $ \frac{16\sqrt{2}}{3} $, mas não coincide com nenhuma das opções fornecidas.

Determine a área da região contida abaixo da parábola

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