Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m, com uma densidade volumétrica de carga de λ(r,ϕ,θ) = 4/π C/m³, onde r é a distância ao centro da esfera.

A
16

B
32

C
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D
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E

Q: Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m, com uma densidade volumétrica de carga de λ(r,ϕ,θ) = 4/π C/m³, onde r é a distância ao centro da esfera. A 16 B 32 C 64 D 128 E

Para determinar a carga elétrica de uma esfera com raio $ R = 2 \, \text{m} $ e densidade volumétrica de carga $\lambda(r, \varphi, \theta) = \frac{4}{r} \, \text{C/m}^3$, devemos integrar essa densidade ao longo do volume da esfera. A densidade volumétrica é dada em coordenadas esféricas, então usaremos: \[ dQ = \lambda(r, \varphi, \theta) \, dV \] O elemento de volume em coordenadas esféricas é: \[ dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi \] A carga total $ Q $ é: \[ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 \left(\frac{4}{r}\right) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi \] Simplificando a integral: \[ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 4r \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi \] Calculando a integral: 1. Integração em $ r $: \[ \int_0^2 4r \, dr = \left[ 2r^2 \right]_0^2 = 2(2^2) - 2(0^2) = 8 \] 2. Integração em $ \theta $: \[ \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2 \] 3. Integração em $ \varphi $: \[ \int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi \] Multiplicando os resultados: \[ Q = 8 \times 2 \times 2\pi = 32\pi \] Portanto, a carga total é: **Resposta: D**

Question

Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m, com uma densidade volumétrica de carga de λ(r,ϕ,θ) = 4/π C/m³, onde r é a distância ao centro da esfera.

A
16

B
32

C
64

D
128

E

Accepted Answer

Para determinar a carga elétrica de uma esfera com raio $ R = 2 \, \text{m} $ e densidade volumétrica de carga $\lambda(r, \varphi, \theta) = \frac{4}{r} \, \text{C/m}^3$, devemos integrar essa densidade ao longo do volume da esfera.

A densidade volumétrica é dada em coordenadas esféricas, então usaremos:

$$ dQ = \lambda(r, \varphi, \theta) \, dV $$

O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

$$ dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $$

A carga total $ Q $ é:

$$ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 \left(\frac{4}{r}\right) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $$

Simplificando a integral:

$$ Q = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 4r \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $$

Calculando a integral:

1. Integração em $ r $:

$$ \int_0^2 4r \, dr = \left[ 2r^2 \right]_0^2 = 2(2^2) - 2(0^2) = 8 $$

2. Integração em $ \theta $:

$$ \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 2 $$

3. Integração em $ \varphi $:

$$ \int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi $$

Multiplicando os resultados:

$$ Q = 8 \times 2 \times 2\pi = 32\pi $$

Portanto, a carga total é:

**Resposta: D**