Determine a derivada das seguintes funções:

a) $f(x) = x^2 \cdot tan(x) + cot(x) - csc(x) + sec (x)$

b) $f(x) = \frac{sec(x)}{x^3} + \sqrt{x} \cdot csc (x)$

Question

Determine a derivada das seguintes funções:

a) $f(x) = x^2 \cdot tan(x) + cot(x) - csc(x) + sec (x)$

b) $f(x) = \frac{sec(x)}{x^3} + \sqrt{x} \cdot csc (x)$

Accepted Answer

Claro, vamos calcular as derivadas das funções dadas.

### a)
$$
f(x) = x^2 \cdot \tan(x) + \cot(x) - \csc(x) + \sec(x)
$$

Para encontrar a derivada $ f'(x) $, derivaremos cada termo individualmente:

1.  Derivada de $ x^2 \cdot \tan(x) $: Usamos a regra do produto.

$$
    \frac{d}{dx} [x^2 \cdot \tan(x)] = x^2 \cdot \frac{d}{dx}[\tan(x)] + \tan(x) \cdot \frac{d}{dx}[x^2]
    $$

$$
    = x^2 \cdot \sec^2(x) + \tan(x) \cdot 2x
    $$

$$
    = x^2 \sec^2(x) + 2x \tan(x)
    $$
2.  Derivada de $ \cot(x) $:

$$
    \frac{d}{dx} [\cot(x)] = -\csc^2(x)
    $$
3.  Derivada de $ -\csc(x) $:

$$
    \frac{d}{dx} [-\csc(x)] = \csc(x) \cot(x)
    $$
4.  Derivada de $ \sec(x) $:

$$
    \frac{d}{dx} [\sec(x)] = \sec(x) \tan(x)
    $$

Combinando tudo:

$$
f'(x) = x^2 \sec^2(x) + 2x \tan(x) - \csc^2(x) + \csc(x) \cot(x) + \sec(x) \tan(x)
$$

### b)
$$
f(x) = \frac{\sec(x)}{x^3} + \sqrt{x} \cdot \csc(x)
$$

Para encontrar a derivada $ f'(x) $, derivaremos cada termo individualmente:

1.  Derivada de $ \frac{\sec(x)}{x^3} $: Usamos a regra do quociente.

$$
    \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sec(x)}{x^3} \right] = \frac{x^3 \cdot \frac{d}{dx}[\sec(x)] - \sec(x) \cdot \frac{d}{dx}[x^3]}{(x^3)^2}
    $$

$$
    = \frac{x^3 \cdot \sec(x) \tan(x) - \sec(x) \cdot 3x^2}{x^6}
    $$

$$
    = \frac{x^3 \sec(x) \tan(x) - 3x^2 \sec(x)}{x^6}
    $$

$$
    = \frac{x \sec(x) \tan(x) - 3 \sec(x)}{x^4}
    $$
2.  Derivada de $ \sqrt{x} \cdot \csc(x) $: Usamos a regra do produto.

$$
    \frac{d}{dx} [\sqrt{x} \cdot \csc(x)] = \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}[\csc(x)] + \csc(x) \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{x}]
    $$

$$
    = \sqrt{x} \cdot (-\csc(x) \cot(x)) + \csc(x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
    $$

$$
    = -\sqrt{x} \csc(x) \cot(x) + \frac{\csc(x)}{2\sqrt{x}}
    $$

Combinando tudo:

$$
f'(x) = \frac{x \sec(x) \tan(x) - 3 \sec(x)}{x^4} - \sqrt{x} \csc(x) \cot(x) + \frac{\csc(x)}{2\sqrt{x}}
$$

Assim, as derivadas são:

a)
$$
f'(x) = x^2 \sec^2(x) + 2x \tan(x) - \csc^2(x) + \csc(x) \cot(x) + \sec(x) \tan(x)
$$

b)
$$
f'(x) = \frac{x \sec(x) \tan(x) - 3 \sec(x)}{x^4} - \sqrt{x} \csc(x) \cot(x) + \frac{\csc(x)}{2\sqrt{x}}
$$